將計算過程的誤差歸結為初始誤差的誤差，稱為向後誤差分析。
由英國數學家詹姆斯·哈迪·威爾金森(James Hardy Wilkinson，1919—1986)提出，是數學誤差理論中最基本的方法之一。向後誤差分析是一種先驗性估計方法。
基本介紹
- 中文名：向後誤差分析法
- 外文名：backward error analysis
- 提出者：詹姆斯·哈迪·威爾金森
- 領域：數學
- 屬性：先驗性估計方法
- 相關名詞：前向誤差分析
簡介,數值模擬中的誤差分析,誤差分析原則,前向誤差分析,套用,
簡介
將計算過程的誤差歸結為初始誤差的誤差，稱為向後誤差分析。
若對每個 ai 引入某個攝動量εi，使得
然後利用 εi 的界，由攝動理論估計最後捨入誤差
的界。
在數學中，誤差分析是對解決問題可能存在的錯誤或不確定性的種類和數量的研究。這個問題在數值分析和統計等套用領域尤為突出。
向後誤差分析涉及對近似函式
的分析，以確定參數
的界限，使得結果
。
向後誤差分析，其理論由詹姆斯·威爾金森（James H. Wilkinson）開發和推廣，可用於確定實現數字函式的算法在數值上是穩定的。基本的方法表明，儘管由於捨入誤差導致的計算結果不完全正確，但是對於附近有輕微干擾的輸入數據的問題，這是精確的解。 如果所需的擾動小，按照輸入數據中的不確定性的順序，則結果在某種意義上與數據“應得的”一樣準確。 然後將算法定義為向後穩定。穩定性是對給定數值程式的捨入誤差敏感度的量度；相比之下，給定問題的函式的條件數表示函式對其輸入中的小擾動的固有靈敏度，並且獨立於用於解決問題的實現。
向後誤差分析是一種先驗性估計，該方法具體介紹如下：
假設結果由已知量（原始數據或先前已算出的量）a1，a2，a3，…，an經過基本算術運算確定，寫x=f(a1，a2，a3，…，an)，由於計算中產生捨入誤差（rounding error），實際算出的值a與準確值x不同。向後誤差分析法把捨入誤差與導出a的已知量a1，a2，a3，…，an的某種攝動（即微小誤差）聯繫起來，即對某個ai引進攝動量εi，使得由浮點運算得到等式：a=f(a1+ε1,a2+ε2,a3+ε3，…，an+εn)，再推出這些εi的界（εi不是唯一的，且無須求出εi的具體值），然後再利用攝動理論（perturbation theory）估計最後捨入誤差的界。
向後誤差分析是威爾金森20世紀60年代初在研究矩陣計算的誤差時作了系統分析而提出的，是計算機上各種數值計算最常用的誤差分析手段。
數值模擬中的誤差分析
在實際系統的數值模擬或建模中，隨著模型參數的變化，誤差分析與模型輸出的變化有關。
例如，在作為兩個變數z= f（x，y）的函式建模的系統中。誤差分析涉及x和y（圍繞平均值
）的數值誤差傳遞到z中的誤差（圍繞平均值
）。
在數值分析中，誤差分析包括前向誤差分析和後向誤差分析。
誤差分析原則
（1）要避免除數絕對值遠遠小於被除數絕對值的除法；
（2）要避免兩相近數相減，在數值計算中相近的兩數相減有效數字會嚴重損失；
註：如果無法改變算式，則採用增加有效位數進行運算；在計算機上可採用雙倍字長運算，但這要增加機器計算時間並且占用更多的記憶體單元。
（3）要防止大數“吃掉” 小數；
在數值運算中參加運算的數數量級相差很大時，可能會影響計算結果的可靠性。
（4）注意簡化計算步驟，減少運算次數；
減少運算次數，不但可以節省計算機的計算時間，還能減少捨入誤差。
（5）要有數值穩定性，即能控制捨入誤差的傳播；
前向誤差分析
直接估計計算結果與真確結果之間的誤差，稱為向前誤差分析。
真確值：
計算結果：
套用
使用全球定位系統計算的誤差分析對於了解GPS的工作原理以及了解應該預期的幅度誤差很重要。全球定位系統對接收機時鐘誤差和其他影響進行修正，但是仍然存在未糾正的殘差錯誤。 全球定位系統（GPS）由美國國防部（DOD）於七十年代創建。 它已被美軍和廣大民眾普遍用於導航。
