同餘關係

同餘關係是代數系統的集合中的等價關係，並且在運算的作用下，能夠保持關係的等價類。以二元運算為例，在a₁*a₂中，如果用集合S中與a₁等價的任何其他元素b₁代換a₁，並且用與a₂等價的任何其他元素b₂代換a₂，則所求的結果b₁*b₂與a₁*a₂位於同一等價類之中。此外，同餘關係與運算密切相關。如果一個代數結構中有多個運算，則需要考察等價關係對於所有這些運算是否都有代換性質。如果等價關係在一個運算上不滿足代換性質，該等價關係就不是代數系統上的同餘關係。

基本介紹

• 中文名：同餘關係
• 外文名：cougruence relation
• 所屬學科：數學
• 相關概念：商代數，同態等

同餘關係的意義

設~為代數結構 的載體S上的等價關係，稱~為s上關於一元運算△的同餘關係(congruence relation)，如果對S中的任何元素a，b，

蘊含

稱~為S上的關於二元運算* 的同餘關係，如果對S中的任何元素a，b，c，d，

蘊含

當～關於 中一元運算△、二元運算* 均為同餘關係時，便稱～為 上的同餘關係，等價類 _ 又稱為同餘類。

在同餘關係的定義中，式( 蘊含 )還可以改為：對S中的任意元素a，b，c，

蘊含 且

同態與同餘關係

性質

如果函式 是 到 的同態映射，那么h導出的S上如下定義的關係 ，必定是 上的同餘關係：

定理1

設h是 到 的同態映射，那么等價關係 是代數結構 上的同餘關係。

同餘關係的套用

定義

設S上的等價關係~為 上的同餘關係，定義S/~上的一元運算@和二元運算 如下，對任意 ，

@

那么代數結構<S/~，@， >稱為 的關於~的商代數(quotient algebra)。

定理2

設<S/~,@, >為 的關於~的商代數，那么

(1)若 運算滿足結合律、交換律，則 運算也滿足結合律、交換律；

(2)若 運算有麼元e(零元o)，則 以 為麼元(以[o]為零元)；

(3)若 有關於 運算的逆元 ，則 有關於 運算的逆元[ ]。

在代數結構 與其商代數<S/~，@， >之間，存在一個有趣的同態映射，稱為規範映射，定義如下：

定理3

設~為 上的同餘關係，那么規範映射 為 到其商代數<S/~，@， >的一個同態。

定理4

設h為 到 的同態，~為h導出的 的同餘關係，那么商代數<S/~，@， >與同態像 同構。