同倫提升問題

同倫提升問題(homotopy lift problem)是同倫論的基本問題之一。同倫論研究的是代數拓撲學中研究與連續映射的連續形變有關的各種課題，是代數拓撲學的一個主要組成部分。同倫概念的直觀解釋就是連續變形，以此為基礎定義的基本群被稱為同倫群。最早論及同倫群的是法國數學家龐加萊，他於1895年引進的復形基本群被稱為第一同倫群。

基本介紹

• 中文名：同倫提升問題
• 外文名：homotopy lift problem
• 領域：數學
• 學科：同倫論
• 映射：同倫映射
• 相關理論：纖維叢理論

概念

同倫提升問題(homotopy lift problem)是同倫論的基本問題之一。設連續映射p：E→B，若對於每個連續映射f：X→E和p°f的同倫映射G：X×I→B，存在同倫F：X×I→E，滿足f=F|X×{0}與p°F=G，即：B中的任何同倫都可“提升”為E中的同倫，則稱連續映射f關於空間X有同倫提升性質。用圖示的形式是說，以下圖形(圖1)可以用F來完成並使之交換，其中i₀：X→X×I是由i₀(x)=(x，0)(x∈X)定義的映射。同倫提升問題就是關於同倫映射是否有提升以及對什麼樣的空間有同倫提升性質等這樣一些相關的問題。此問題與纖維叢理論有十分密切的關係。設映射p：E→B，若它對於一切空間X都有同倫提升性質，則稱為纖維映射。

圖1

同倫

設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：

則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h_t}_t∈I，h_t連續地依賴於t且h₀=f，h₁=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。

設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id_x且f·g≃id_r。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x₀∈X，使得常值映射C：X→X。x₁→x₀與映射id_x同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id_x≃0，即恆同映射id_x零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。

設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|_A=id_A(或r·i=id_A)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid_x：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。

兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。

倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。

同倫論

代數拓撲學中研究與連續映射的連續形變有關的各種課題，是代數拓撲學的一個主要組成部分。同倫概念的直觀解釋就是連續變形，以此為基礎定義的基本群被稱為同倫群。最早論及同倫群的是法國數學家龐加萊，他於1895年引進的復形基本群被稱為第一同倫群。1912年荷蘭數學家布勞威爾引入同維流形之間映射的度以研究同倫分類，開創不動點理論。20世紀20年代德國數學家霍普夫探討了球面同倫理論。20世紀30年代波蘭數學家胡雷維奇建立了群的同倫理論，引進拓撲空間的n維同倫群。另一位波蘭數學家博蘇克於1936年定義了從拓撲空間到n維球面的映射類的和，由此得到博蘇克上同倫群。20世紀40年代原蘇聯數學家龐特里亞金給出從(n+k)維球到n維球的映射同倫分類，被稱為龐特里亞金類。20世紀50年代初，法國數學家塞爾提出了研究同倫群的新方法，利用纖維化的譜序列，取得了球面同倫群計算的突破性進展。20世紀50年代末英國數學家J.F.亞當斯提出新的譜序列，成為研究同倫論的重要工具。20世紀60年代初廣義同調論的發展使同調的問題可以轉化為同倫的問題，從此代數拓撲學的這兩個主要分支統一起來，共同獲得重大發展。

同倫映射

拓撲學的重要概念。直觀地說，從拓撲空間X到拓撲空間Y的連續映射f，g是同倫的，是指在Y中可將f連續形變成g。設f，g：X→Y都是連續映射，I=[0，1]，若存在連續映射H：X×I→Y，使得對所有x∈X，

則稱f和g是同倫的映射，記為fg：X→Y，稱H為從f到g的一個同倫或倫移，該同倫也可記為H：fg。有時記H(x，t)≡f_t(x)，這時的f₀=f，f₁=g，若對所有t，同倫f_t都是X到Y的同胚，則稱f合痕於g.應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合C(X，Y)上的一個等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。

纖維叢理論

拓撲學中的一種理論。把微分流形及以其上每點為原點的線性獨立的切向量組全體總括在一起得到纖維叢的概念。利用纖維叢理論和連絡幾何學，給出了作為統一電磁場與相互作用場的數學基礎的規範場論的一個幾何模型。在李群及齊性空間、覆蓋空間及一般的向量叢等數學方向上都有套用。