設X為拓撲空間,若X有一個可數基,則稱X為第二可數的。若對任意x∈X,鄰域系N(x)有一個可數基,則稱X為第一可數的。
基本介紹
- 中文名:可數性
- 外文名:countability
- 分類:第一可數、第二可數
- 相關概念:可數基
- 領域:泛函分析
- 學科:數學
定義,性質,
定義
設(X,
)為拓撲空間,若X有一個可數基,則稱X為第二可數的。若對任意x∈X,鄰域系N(x)有一個可數基,則稱X為第一可數的。
![](/img/7/dfd/b83f60acf17ec8f8c23b973bb755.jpg)
註:每個度量空間都是第一可數的;任一第二可數空間是第一可數的。
性質
性質1 設X是第一可數的,對任意x∈X,設{Ui}i∈N是N(x)的可數基,則V1=U1,V2=U1∩U2,一般地Vn=U1∩…∩Un,構成N(x)的可數基,符合V1⊃V2⊃…⊃Vn⊃…,即N(x)有一個下降的或遞縮的可數基。
性質2 設X是第一可數空間,A⊂X,點x∈X為A的聚點的充要條件是A\{x}中有序列收斂於x。
註:空間X的任一有序可數子集{xn|n∈N}稱為X中一個序列,設x∈X,若對任意U∈N(x),存在正整數M使得對任意n≥M有xn∈U,則稱序列{xn}收斂於x,若這樣的x存在,則稱{xn}是收斂的。
性質3 每個第二可數空間是可分的。
註:設A是空間X的任一子集,若Ā=X,則稱A是X的稠子集,或稱A稠於X。若X有一個可數的稠子集,則稱X是可分的。
性質4 每一個第二可數空間都是林德洛夫的,每個林德洛夫空間的閉子空間也是林德洛夫空間。設ℬ是空間X的任一基,若ℬ的元構成的A的覆蓋有可數子覆蓋,則子空間A⊂X是林德洛夫空間。若拓撲空間X的每個子空間都是林德洛夫空間,則X的每個不可數子集A中都含有A的聚點。
註:若空間X的每個開覆蓋均有可數的子覆蓋,稱X是林德洛夫空間。
性質5 對度量空間而言,第二可數、可分、林德洛夫是等價的。