可公度量

可公度量(commensurable quantities)亦稱可通約量，是數學的基本概念之一。指兩個同是第三個量的整倍數的量，對於兩個正量A與B，若存在第三個量C，使A=pC，B=qC同時成立，這裡p，q為自然數，則稱量A與量B可公度或可通約，且稱C是A與B的一個公度，這時稱A與B是可公度量或可通約量。若不存在自然數p，q與量C使A=pC，B=qC成立，則稱A與B是不可公度或不可通約，這時A，B是不可公度量或不可通約量。公度的概念在數學史上曾起過重要作用，因為當時人們尚未認識無理數，所以對於有關無理數的問題就歸結為不可公度的量來解決。

基本介紹

• 中文名：可公度量
• 外文名：commensurable quantities
• 別名：可通約量
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數

基本介紹

作線段度量時，如果兩條線段都能用第三條線段量盡，即兩條線段都是第三條線段的整數倍，則把第三條線段稱為前兩條線段的一個公度，這兩條線段就叫做可公度量(或可通約量)，由於公度的 仍是一個公度，可知沒有最小的公度，但公度顯然不會超過兩條線段中的較小者，故公度中必有最大者，稱為最大公度。

相關分析

假設A、B 是可通約的兩個量，它們的比 是既約分數。用 輾轉相除法求m與n的最高公因數，結果一定是1。如果兩個量可通約，那么輾轉相度一定有量完的時候。這時候充當除數的那個量就是公度(common measure)；

圖1

反過來，若是輾轉相度永不停止，那么這兩個量就是叵通約的。例如等腰直角三角形ABC中，弦AB與股AC就沒有公度。這因為在AB上取AD=AC，又作AE平分∠BAC 交BC 於E，這時

所以

可見，也是等腰直角三角形。

當我們以AC度AB時，量一次剩下DB。以DB度AC和以DB度BC一樣，量一次剩下BE。下邊雖說可以再量，然而DB與BE互度時，工作的實質毫不減於AC與AB的互度。可見這項互度工作永遠不能休止，由此知道這是不可度的。

相關定理

定理一 設可通約，可通約，則可通約。

定理二 設量可通約，那么與是可通約量，與也是可通約量。

證明：根據假設：

那么，

所以是可通約量。同理可證也是可通約量。

定理三設是可通約量，而且則與，與也各是可通約量。

證明:所以。由此即得與是可通約量，同理可證與也是。

定理四 設是可通約量，是任何自然數或分數，那么，和是可通約量。