取樣定理

相對於連續信號，離散信號的處理更為方便、靈活，因此在很多的實際套用過程中，首先將連續信號轉換為相應的離散信號，對其進行加工處理，再將處理後的離散信號轉換為連續信號。 這樣一來，就出現了一個問題：連續信號轉換為離散信號，相應的離散信號是否保留了原連續信號的全部信息， 能不能由離散信號不失真地還原出原來的連續信號？

時域取樣定理，即取樣定理，很好地回答了這個問題，它為連續信號與離散信號的相互轉換提供了理論依據。 因此，取樣定理是“信號與系統”、“數位訊號處理”等學科的重點和難點之一。

基本介紹

• 中文名：取樣定理
• 外文名：sampling theorem
• 提出者：奈奎斯特，香農
• 提出時間：1928,1949
• 套用學科：信號與系統，數位訊號處理
• 適用領域範圍：通信技術，地球物理勘探，工業設計

主要內容

取樣及取樣定理的內容

連續信號的取樣是由取樣器（實際中為 A/D 轉換器）來完成。 取樣器就相當於一個電子開關，每隔 T 秒閉合一次，並對該電子開關的輸出進行編碼，得到原來連續信號 在nT時刻的樣本值 ，如下圖所示：

理想取樣（周期單位衝激取樣）

f(t)←→F(jω) (–ωm< ω<ωm)

s(t)←→S(jω)

fs(t)←→Fs (jω)

衝激取樣信號的頻譜

畫fS(t)的頻譜時，當ωS≥2ωm 時,其頻譜不混疊，故能設法(如低通濾波器)從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復原信號f(t)； 否則發生混疊。

定理內容

奈奎斯特（Nyquist）和香農（Shannon）分別於 1928 年和1949 年 提 出 了 取樣 定 理 ，取樣 定 理 指出： 一個頻譜在區間(-fh，fh)以外都為零的頻帶有限信號 ，可以唯一地由其在均勻間隔 上的樣值點 確定。

取樣定理論述了在一定條件下，一個連續信號完全可用離散樣本值表示。利用這些樣本值可恢復原信號。

取樣定理為連續信號與離散信號間的轉換提供了理論依據。

地位

對於頻譜有限函式,Shannon取樣定理在函式逼近方面是一個重大的突破.取樣定理來源於通信技術，但目前其套用遠遠超出此範圍。工程技術上，如地球物理勘探、工業設計、圖象處理等方面廣泛套用到取樣定理。

缺陷

收斂速度太慢、計算量大，從而誤差較大之缺陷，還是不能適合高科技時代工程技術上的要求。

發展

1.1986年，Natterer引入S空間中的速降函式，由此給出的取樣定理大大加快了收斂速度，但由於速降函式不是初等函式，給計算帶來了麻煩；

2.快速取樣定理：對於中的任意b頻譜有限函式f(x)成立：

因為是初等函式，當|x|趨於無窮時，，因此只需要選取適當的N，如選取N=3,4等值便可提高取樣定理的收斂速度。

工程套用

在實際套用過程中， 許多工程信號不是頻帶有限信號，即不滿足取樣定理，不能直接取樣。 需要在取樣之前加入抗混疊低通濾波器,去掉的高頻成分，然後在進行取樣。下圖給出加抗混疊低通濾波器和不加抗混疊低通濾波器兩種情況下，連續信號與取樣信號的頻譜圖對比：

從中可以發現，加入抗混疊低通濾波器之後，頻譜的混疊失真可以大大減小。