反覆殘差法

反覆殘差法

反覆殘差法將模型線性化的一種疊代算法,由Subba Rao在處理雙線性模型時提出。 Subba Rao提出了反覆殘差法估算模型參數,該法是在假定模型階數、模型參數初值和計算精度條件下,計算模型殘差平方和,在最小二乘意義下使其極小化,估計新的參數值,再求殘差平方和。如此反覆疊代,直到滿足要求的精度,這時的參數值即為所求。模型定階採用AIC。反覆殘差法有計算量大,操作不便的缺點。

基本介紹

  • 中文名:反覆殘差法
  • 所屬學科:數學
  • 基本介紹:將模型線性化的一種疊代算法
  • 提出者:Subba Rao
基本介紹,實例分析,

基本介紹

雙線性差分方程 對零均值時序
擬合的雙線性模型:
記該模型為BM(n,m,p,q),其中,殘差
為方差是
的白噪聲,當
是非零均值時,上式中還應有一常數項
式(1)較ARMA (n, m)模型多一個雙線性項,即當
固定時,變成關於
的線性模型,當
固定時,變成了關於
的線性模型,因而稱之為雙線性模型。可以把雙線性模型視為ARMA模型的推廣。但是,由於它是非線性模型,模型的定階準則,穩定性與可逆性等比ARMA模型的複雜得多,計算也困難得多。對某些較簡單的雙線性模型,建櫻懂模時可沿用線性系統的定階準則,如F檢驗,AIC準則等。
在階刪背背數已確定的情況下,對於雙線性模型的參數估辯請芝婚計問題,原則上與線性模型的處理方法相同,現敘述如下,在式(1)中,當N足夠大時,有似然函式
式中,
為參數的集合,
於淋雄霉是,
的極大似然估計為使殘差平方和
達最小,即
中每個元素取極小化而得到,因此,乃獄辯關於ARMA模型的建模方法如Levinson算法一般均適用於雙線性建模。Subba Rao提出的“反覆殘差法”對較為簡單的雙線性建模頗為方便有效,其思路可由圖1說明。Z是由{xt}中的元素構成的列向量,A是
所構成的己知的常數矩陣,
是式(2)所示的模型參數構成的列向量,反覆殘差法是在模型階數已知的條件下建模。

實例分析

下面是一個簡單的雙線性模型的建模過程。
設要建立的雙線性模型為:
式中,B為後移運算元,當b較小時,近似地有
忽略
項,則有
於是可套用最小二乘法估計參數φ、 b,如不忽略
項,則可套用非線性最小二乘法估計參數。
設參數的初始估值為
, 則由式(5)可得其殘差的初值
,根據式(3) 求殘差平方和
在紋才棵鞏最小二乘意義下使其極小化,估計新的參數值
,再將新參數代入式( 3)求殘差
求出新的殘差後,再代入式(6),估計新的參數
,如此反覆疊代,直到滿足精度為止。
仿真建模實例
設雙線性差分方程為:
圖2所示為該雙線性系統的時間序列,系統的輸入
是方差
的零均值的白噪聲,圖3所示為雙線性時序的機率密度分布圖,其中虛線為實際分布,實線為常態分配,可見該序列已不是常態分配;圖中示出了序列的雄提臘均值、方差、偏態值與峰態值,從中也可看出其非線性的特性。表1列出了雙線性建模的結果。其中,F0為模型中含有的常數項,以便於擬合均值不為零的時序,將表中結果與式(8) 比較可知,兩者符合情況較好,表明反覆殘差法建模是有效的。
反覆殘差法
圖12雙線性時間序列
反覆殘差法
圖3 雙線性序列的機率密度分布
均值:-0.317177 偏態:-0.347777 方差:1.543746 峰態:1. 005134
表1 雙線性建模結果
AIC值
EPS
F0
0.409
0.401
0.856
-0.3
0.001
5. 056X 10

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