半域

半域是一類結構特殊的半環。一個半域是一個(加法與乘法)交換的半環(K，+，·)，使得(K,·)是一個帶零元的阿貝爾群(即存在特殊元素a∈K，使(K\{a}，·)做成阿貝爾群且對任意元素x∈K有ax=xa=a，此時,a稱為(K，·)的零元(注意：a未必是加法恆等元，從而未必是半環K的零元)。半域理論對研究半環的嵌入有著十分重要的作用，關於半域的根理論已形成具有特色的研究新領域。

基本介紹

• 中文名：半域
• 外文名：semi-field
• 所屬學科：數學
• 屬性：一類結構特殊的半環
• 分類：0一半域、∞一半域

基本介紹

常用的半環記號

首先列出常用的半環記號：

(自然數半環）；

(有理數半環）；

(正實數半環)；

相關概念

定義1 設S是一個半環，若S中元素a具有性質

則稱a為S的一個乘法零元，簡稱a為S的一個乘0，並稱S為帶乘零的半環。

顯然，若S是含零元的交換半換，則S既是S的加法恆等元，又是S的乘法零元，簡稱這樣的半環S為帶零半環。

定義2 若半環S含有一個乘法零元 ，具有性質

則稱 為S的一個無窮元，並稱S為帶無窮元的半環。

顯然，上面列出的(2)、(5)和(8)是帶零半環，而(3)、(6)和(9)是帶無窮元的半環。

需要指出，一個帶乘零的半環可以既不是一個帶零半環，同時 也不是一個帶無窮元半環，例如直積半環 中，有 作為乘零，而既不是S的零元，也不是無窮元。後面我們將看到在半域中這種情況是不會出現的。

半域的定義

一個半域是一個半環 ，使得 是一個帶零的阿貝爾群(即存在特殊元 使 是一個阿貝爾群且對任意元 有 )，此時a叫做半域K的零元。

值得注意的是半域K的零元未必是加法恆等元，從而未必是半環K的零元，半域的乘法恆等元將記為1。

每個域是半城，並且上面的半環(5)，(6)，(8)和(9)均是半域而非域。

半域的分類

定理1 K是一個半域，a是K的零元，那么下面之一成立：

1)對任意，有

2)對任意，有

證明：首先證明令則。

情形1 存在某個，，使得，對任意那么故即，亦即2)成立；

情形2 對所有有則設那么且故存在使現在對任意有而故即1)成立。

由此定理看出，僅有兩種類型的半域，或者對任意x有或者對任意x有在第一種情形，a扮演著加法恆等元的角色(通常記此元為0)，故我們稱第一種情形的半域為0型半域或0—半域；在第二種情形，a相當於一個加零(通常記為)，故我們稱第二種類型的半域為無窮元型半域或一半域，且記它的零元為。

注意：每個域是0一半域，和是0一半域而非域，和是一半域而非域。

在定理1的證明中，我們證明了如果存在一個非零元x使那么每個非零元都有這個性質，且如果存在一個非零元x使那么每個非零元也都有此性質，證明中用到了每個非零元都有乘逆這個事實，這種斷言在半域理論中會經常用到，即如果某個非零元具有某一性質，那么每個非零元均有此性質，我們稱此為半域的一致性原理。（關於半域更多的知識可查閱相應參考資料）。