基本介紹
- 中文名：半單群
- 外文名：semisimple group
- 領域：代數
- 定義：沒有交換正規子群的有限群
- 對象：有限群
- 相關概念：擬單群、單群、子群
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概念介紹
半單群(semisimple group)是一類特殊的群。沒有異於1的交換正規子群的有限群。設G是有限群，若G是擬單群的中心積或G=1，則稱G為半單群。例如，有限非交換單群的直積為半單群。有限群G具有一個惟一的極大正規半單子群，稱為G的層，記為L(G)。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
子群
子群是群的特殊的非空子集。。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G.任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有Hi的交Hi是G的一個子群。
正規子群
正規子群亦稱不變子群。一類重要的子群。是在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H.{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
單群
單群是一類重要的群。即不含非平凡正規子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規子群，則稱G為單群。.若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數階群，交錯群An，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領域。
擬單群
擬單群是較單群更廣的一類群。設G是有限群，若G等於它的導出群，並且G/Z(G)為單群，則稱G為擬單群。若G為擬單群，則常稱G為G/Z(G)的覆蓋群。有限群G的次正規擬單子群H稱為G的分支或分量。
有限群
有限群是指具有有限多個元素的群，是群論的重要內容之一。其所含元素的個數，稱為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源於有限群論。有限群可分為兩大類：可解群與非可解群(即單群)。
有限群的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立後的一個重要發展方向。德國數學家赫爾德在1889年以後的若干年內，詳細地研究了單群和可解群，證明：一個素數階循環群是單群，n個(n≥5)文字的全部偶置換組成的交換群是單群。他還發現了許多其他有限的單群。赫爾德和若爾當還建立了在有限群中的若爾當—赫爾德合成群列和若爾當—赫爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解群的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於pq(p、q是素數)必是可解群的定理，導致了對有限單群進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限群中長期懸而未決的一個猜想(見伯恩塞德猜想)：奇數階群一定是可解群。它推動了有限群理論的發展。有限單群的完全分類，即找出有限單群所有的同構類，經過上百名數學家約40年的共同努力，終於在1981年得到解決，這是數學史上的一個非凡成就。
