勒貝格微分定理

數學上,勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說,一個局部可積函式在幾乎每點的值,都是函式在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之,該函式的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。

基本介紹

  • 中文名:勒貝格微分定理
  • 外文名:Lebesgue differentiation theorem
  • 分類:數理科學
定理敘述,證明,

定理敘述

為局部可積函式,m為
的勒貝格測度。那么
中幾乎處處的x都符合。

證明

因為這定理是關於函式的局部性質,不失一般性,可假設函式f定義在有界集合中,故f為可積函式。
定義
那么這定理就是對幾乎處處的x有Tf= 0。只需證對任何y> 0,集合{Tf>y}的測度為零。
對連續函式,這定理顯然成立。連續函式在
中稠密,故此對任意正整數n,有連續函式g使得
。由於g連續,有Tg= 0。
用三角不等式有
。(Mhh的哈代-李特爾伍德極大函式。)從上式得
因為
,所以有
Tf>y,則有Mh>y/2或者|h| >y/2。因此
由哈代-李特爾伍德極大不等式得
由積分的基本性質有
,故得
。因此
因為上式對所有正整數n成立,從而知m{Tf>y}=0。定理得證。

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