剩餘類

剩餘類，亦稱同餘類，是一種數學的用語，為數論的基本概念之一。設模為n，則根據餘數可將所有的整數分為n類，把所有與整數a模n同餘的整數構成的集合叫做模n的一個剩餘類，記作[a]。並把a叫作剩餘類[a]的一個代表元。

基本介紹

• 中文名：剩餘類
• 外文名：residue class
• 學科：數學
• 套用領域：數論等

簡介

剩餘類亦稱同餘類。數論的基本概念之一，指全體整數按照對一個正整數的同餘關係而分成的類。

設 m 是給定的正整數，以 表示所有形如 的整數組成的集合，其中 則 稱為模 m 的剩餘類。

定義

一個整數被正整數n除後，餘數有n種情形：0，1，2，3，…，n-1，它們彼此對模n不同餘。這表明，每個整數恰與這n個整數中某一個對模n同餘。這樣一來，按模n是否同餘對整數集進行分類，可以將整數集分成n個兩兩不相交的子集。我們把（所有）對模n同餘的整數構成的一個集合叫做模n的一個剩餘類。

性質

模 m 的剩餘類具有性質：

1、每一個整數恰包含在某一個類 C_j 里(0≤j≤m-1)；

2、兩個整數 x，y屬於同一類的充分必要條件是。

剩餘類與完全剩餘系

由此可引出抽象代數中重要的概念，如群論中的陪集，環論中的剩餘類等。任取n，這n個數0，1，…，n-1稱為模n的一個完全剩餘系。每個數稱為相應類的代表元。最常用的完全剩餘系是{0，1，…，n-1}。

1、若 ，則n個整數 ， 構成一個完全剩餘系的充分必要條件是這n個除n的餘數兩兩不相等。

2、若 ，當 為完全剩餘系時， 也為完全剩餘系。

3、若 ，則當 是完全剩餘系時，

也構成 完全剩餘系。

剩餘類與簡化剩餘系

在個剩餘類選取一個與n互素代表元構成簡化剩餘系。

1、 ，當 為簡化剩餘系時， 也為簡化剩餘系。

2、 則當 是簡化剩餘系時， 也構成 簡化剩餘系。