基本介紹
- 中文名：利薩茹曲線
- 外文名：Lissajous Curve
- 別稱：利薩茹圖形、李薩如圖形、鮑迪奇曲線
- 方程：x=asint，y=bsin(nt+φ)
數學定義,性質,特別情況,在電子學上的套用,
數學定義
利薩茹曲線由以下參數方程定義：
- {\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}
其中{\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}，{\displaystyle n\geq 1\,}。
{\displaystyle n}稱為曲線的參數，是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數，則{\displaystyle n={\frac {q}{p}}\,}，參數方程可以寫作：
- {\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(p\theta )\\y(\theta )=b\sin(q\theta +\phi )\\0\leq \theta \leq 2\pi \end{cases}}}，
其中{\displaystyle 0\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2p}}}。
性質
- 若{\displaystyle n}為無理數，曲線在長方形{\displaystyle [-a,a]\times [-b,b]}中稠密。
- 若{\displaystyle n}為有理數，
- 曲線是{\displaystyle 2q}次代數曲線若{\displaystyle \phi \in \left(0,{\frac {\pi }{2p}}\right]}對奇數{\displaystyle p}，或{\displaystyle \phi \in \left[0,{\frac {\pi }{2p}}\right)}對偶數{\displaystyle p}。
- 曲線是{\displaystyle q}次代數曲線的一部分若{\displaystyle \phi =0\,}對奇數{\displaystyle p}，或{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2p}}}對偶數{\displaystyle p}。
若{\displaystyle n}為偶數而{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}，或若{\displaystyle n}為奇數而{\displaystyle \phi =0\,}，則曲線是第{\displaystyle n}個切比雪夫多項式{\displaystyle T_{n}}的曲線的一部分。
特別情況
若{\displaystyle a=b}，{\displaystyle n=q=2}（所以{\displaystyle p=1}），則曲線是besace。
- 若{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}，則這besace是拋物線一部分。
- 若{\displaystyle \phi =0\,}，則這besace是一個熱羅諾雙紐線。
以下是利薩茹曲線的例子，其中{\displaystyle \phi =0}，{\displaystyle a=b},{\displaystyle p}是奇數，{\displaystyle q}是偶數，{\displaystyle |p-q|=1}。
