切線剛度矩陣

非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣，其中，前者用於全量形式的平衡方程，後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法，考慮了結構可能存在初始缺陷的情況，從結構的能量表達式出發，推導了二者之間的數學關係。具體做法是：針對具有任意多自由度和任意參數變數（如任意荷載或初始缺陷）的結構，從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發，推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。

基本介紹

• 中文名：切線剛度矩陣
• 外文名：tangent stiffness matrix
• 同類：割線剛度矩陣
• 範疇：數理科學
• 涉及：非線性穩定性分析

概念

切線剛度陣是廣義力對廣義位移的一階導數，即應力應變曲線的切線，對於非線性材料無法得到準確的剛度矩陣，可以用切線剛度矩陣代替。

非線性穩定性分析中常用到割線剛度矩陣與切線剛度矩陣，其中，前者用於全量形式的平衡方程，後者用於增量形式的平衡方程。切線剛度矩陣常用於判斷臨界點的穩定性和對臨界點進行分類。基於有限元法，考慮了結構可能存在初始缺陷的情況，從結構的能量表達式出發，推導了二者之間的數學關係。具體做法是：針對具有任意多自由度和任意參數變數（如任意荷載或初始缺陷）的結構，從結構的通用總勢能泰勒級數展開式出發，推導得出結構的切線剛度矩陣和割線剛度矩陣之間的數量關係。

基本原理

注意到 ，由 式子積分得到 ，而由 式子可求得 ，又由 式子，則有：

由 式子，可得：

注意到 不含 ，由上式得：

將 代入 式子的右端，則：

利用 和 的第二個性質，得：

式中

而 為三階單位矩陣。

由 式子可得：

將代入式子中，可得：

再將代入式子中，便得到具有對稱形式的初應力矩陣。

至此，三維單元的切線剛度矩陣就可由下式求得：