數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
結合代數是類似於環、域，而更接近於環的一個代數系。非結合代數是抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫。
冪結合代數(power associative algebra)是一類非結合代數。若A是域F上的一個非結合代數，且對每個a∈A，由a生成的A的子代數F[a]都是結合的，則稱A是F上的一個冪結合代數。
基本介紹
- 中文名：冪結合代數
- 外文名：power associative algebra
- 領域：代數學
- 性質：非結合代數
- 對應概念：結合代數
- 實例：李代數、若爾當代數、交錯代數
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概念介紹
冪結合代數(power associative algebra)是一類非結合代數。若A是域F上的一個非結合代數，且對每個a∈A，由a生成的A的子代數F[a]都是結合的，則稱A是F上的一個冪結合代數。對任意a∈A，若a=a，a=aa，對i=1，2，…，則一個非結合代數A是冪結合代數若且唯若aa=a，對i，j=1，2，….結合代數、交錯代數和若爾當代數都是冪結合的。對於一個李代數，由於對每個元素a恆有a=0，所以李代數也是冪結合的。
代數
數學的一個分支。傳統的代數用有字元 (變數) 的表達式進行算術運算，字元代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變數所加的條件。如果只有一個變數，那么滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變數的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如： 布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA)；群 (GRO-UPS)；矩陣(MATRICES)；四元數(QUA-TERNIONS )；向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。
設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：
——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件：
a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：
無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。
結合代數與非結合代數
結合代數
類似於環、域，而更接近於環的一個代數系。設A是一個結合環，若A又是域F上向量空間，且對任意元素a，b∈A，λ∈F，適合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，則稱A是F上結合代數，簡稱F代數.稱F上向量空間A的維數為代數A的維數，記為dimA.一般地，若結合環A又是左R模，其中R是有單位元1的交換環，且對任意a∈A，λ∈R，適合
1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，
則稱A是R上代數.通常假定一個R代數有單位元.
結合代數研究的中心問題是刻畫各類代數的結構，它是從19世紀50年代哈密頓(Hamilton，W.R.)引入實域上四元數(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凱萊(Cayley，A.)等人討論矩陣代數開始的.到20世紀初，韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)開創了有限維代數發展的新階段，他的半單代數結構理論對代數的發展起了推動作用，使有限維代數的研究基本上歸結為冪零代數與可除代數的研究，進而得出半單代數較完整的表示理論.阿爾貝特(Albert，A.A.)的《代數結構》一書(1939年)是對經典代數的很好的總結.非半單代數結構的研究則較為複雜，因此劃分成一些自然的代數類並對它們進行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、淺野啟三(Asano，K.)等人刻畫了主理想代數、弗羅貝尼烏斯代數以及它們的推廣.近年來，開始用模論的方法研究代數結構，產生了代數表示論。
由於R上代數A與環的概念僅多一個R×A到A的乘法運算，因此，子代數、單側理想、理想、商代數、冪零和冪零理想、同構及同態等概念僅比環中相應概念多一個與R中元相乘封閉的性質，不再重複它們的定義。
非結合代數
抽象代數學的一個重要分支，與結合環和結合代數理論在概念與術語的使用上、問題的背景與提出的方式上、討論中的思路與解決問題的方法上都有密切聯繫。若集合R上有兩個二元運算：加法“+”和乘法“·”，而且：
1.(R，+)是加法群;
2.R的乘法“·”對其加法“+”滿足分配律，即對任意x，y，z∈R，恆有：
(x+y)·z=x·z+y·z，
z·(x+y)=z·x+z·y;
則稱(R，+，·)是一個非結合環.進而，
3.若(R，+)是域F上的線性空間，且對任意α∈F，任意x，y∈R有
α(x·y)=(αx)·y=x·(αy);
則稱(R，+，·)是域F上的一個非結合代數。也稱非結合環、非結合代數為分配環和分配代數。設(A，+，·)是一個非結合代數，若它對其乘法滿足結合律或交錯律或若爾當律或雅可比恆等式等，就分別稱其為結合代數、交錯代數、非交換若爾當代數、李代數等。因為，結合環必為非結合環，每個結合代數都是非結合代數，所以，字頭“非”意味著乘法滿足結合律與不滿足結合律的環與代數的總和.由於結合環與結合代數的研究工作起步早、成果多，已自成系統，所以在非結合代數與非結合環理論中通常將那些“結合的”系統排除在外。同樣道理，李代數已形成獨立局面，而不再被包含在一般非結合代數中。
一些重要的非結合代數是受到量子力學、統計物理等刺激發展起來的，但是在其代數結構的理論探討上，可以說，基本上是沿著結合代數結構理論的路子向前發展。如引入理想、同態、商代數、根、直和、鏈條件、半單等概念，分別討論各種類型非結合代數的韋德伯恩定理存在的可能性等。
在這個分支中，到目前為止，研究成果比較令人滿意的是冪結合代數、凱萊代數、若爾當代數、非交換若爾當代數、交錯代數等。
冪結合代數實例
交錯代數
交錯代數是指滿足特別公理的一種非結合代數。指它的任意兩個元素x，y恆有：
xy=x(xy)， yx=(yx)x.
寫成結合子形式，即(x，x，y)=(y，x，x)=0。交錯意味著對任意一個3級置換σ恆有：
(x1，x2，x3)=(sgnσ)(xσ(1)，xσ(2)，xσ(3)).
交錯代數中任意兩個元素生成的子代數都是結合的。有限維交錯代數是半單的，若且唯若它是其單理想之直和。
若爾當代數
一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。所謂非結合代數滿足若爾當恆等式，是指對它的任意元素x，y，恆有xy=yx及(xy)x=x(yx)。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數，理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當(Jordan，P.)引出來的，最初的目的是推廣量子力學的公式。
李代數
一類重要的非結合代數。記L為域F上的線性空間，若L中除了加法和純量積，還有第三種代數運算：L×L→L，記為[x，y]，x，y∈L，它適合條件：
1.反對稱性 [x，x]=0， x∈L.
2.雙線性性 [λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.
3.Jacobi恆等式 [[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.
則[x，y]稱為x和y的換位運算，亦稱“方括弧運算”。這時L稱為域F上李代數，簡稱李代數.當L的維數有限時，稱為有限維李代數；當L的維數無限時，稱為無限維李代數。例如，若L為域F上的結合代數，滿足結合律的乘法，記為ab，a，b∈L，則運算[a，b]=ab-ba，a，b∈L為換位運算。在此運算下，L為李代數。特別地，若L為由所有n×n矩陣構成的結合代數，則在矩陣運算下定義：
[A，B]=AB-BA
便構成一個n維李代數。
