共變和反變

在數學里，反變（contravariant）和共變（covariant）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底/坐標系轉換之下，會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必須的數學基礎。

基本介紹

• 中文名：共變和反變
• 外文名：contravariant and covarian

轉換方式

向量：反變轉換

• 標記法說明：向量是向量空間的元素。向量基底構成了向量空間的一個基底，而則表示的分量。
  

（註：不代表平方，而是代表坐標，在較基礎的數學上，常寫作，但是，在張量分析領域，指標寫作上標或下標牽涉到對張量性質的提示，以及愛因斯坦求和約定。）

V有另一個基底，對應這個基底，有分量。對於1...n之間其中一個特定的整數，我們知道和的關係：

• 。
  

使用愛因斯坦求和約定可寫成：

• 。
  

余向量：共變轉換

對於V的基底，有屬於V*（V的對偶空間）的對偶基底。

對於...之間其中一個特定的整數，我們知道和的關係：

• 。
  

使用愛因斯坦求和約定寫成：

• 。
  

反變分量

在歐幾里得空間里，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得余向量；對於所有餘向量，通過下述方程式，向量和線性泛函，唯一地確定了余向量：

• 。
  

逆過來，通過上述方程式，線性泛函和每一個余向量，唯一地確定了向量。由於這向量與余向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予的一個基底，則必存在一個唯一的對偶基底，滿足

• ；
  

其中，是克羅內克函式。

以這兩種基底，任意向量可以寫為兩種形式

• ；
  

其中，是向量對於基底的反變分量，是向量對於基底的共變分量，

歐幾里得空間

將向量投影於坐標軸，可以求得其反變分量；將向量投影於坐標曲面的法線，可以求得其共變分量。

在歐幾里得空間R里，使用內積運算，能夠從向量求得余向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為、、，就可以計算其對偶基底的基底向量：

• ；
  

其中，是三個基底向量、、所形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

• ；
  

其中，是三個基底向量、、所形成的平行六面體的體積 。

雖然與並不相互標準正交，它們相互對偶：

• 。
  

這樣，任意向量的反變坐標為

• 。
  

類似地，共變坐標為

• 。
  

這樣，可以表達為

• ，
  

或者，

• 。
  

綜合上述關係式，

• 。
  

向量的共變坐標為

• ；
  

其中，是度規張量。

向量的反變坐標為

• ;
  

其中，是共軛度規張量。

共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那么，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。

套用

根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的“形式”。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。