公理化量子場論

公理化量子場論（axiomatic quantum field theory）是用嚴格的公理來描述量子場論的一門數學學科。它與泛函分析和運算元代數密切相關，但近年來也從更加幾何、更加泛函的角度進行了研究。

在這個學科中有兩個主要的挑戰。首先，人們必須提出一套公理，用來描述任何值得稱為“量子場論”的數學對象的一般屬性。然後，給出了滿足這些公理的例子的嚴格數學結構。

基本介紹

• 中文名：公理化量子場論
• 外文名：axiomatic quantum field theory
• 所屬學科：數學物理

懷特曼公理

第一套量子場論公理被稱為懷特曼公理（Wightman axioms），其由 阿瑟·S·懷特曼（Arthur S. Wightman）於20 世紀 50 年代早期提出。這些公理試圖通過將量子場看成是作用於希爾伯特空間上的運算元值分布（operator-valued distribution）來描述平直閔可夫斯基時空上的量子場論。在實踐中，我們經常使用的是懷特曼重構定理（Wightman reconstruction theorem），它保證了我們可以反過來從關聯函式的集族（collection）中重新得到運算元值分布和希爾伯特空間。

奧斯特瓦德-施拉德公理

施溫格函式定義

對於滿足懷特曼公理的量子場論，其關聯函式通常可以從洛倫茲符號差（Lorentz signature）解析地延續到歐氏符號差。〔粗略的說，就是用虛時取代了時間變數；由構成的因子改變了度規張量的時間-時間分量（time-time component的符號）得到的函式稱為施溫格函式（Schwinger function）〕。

施溫格函式性質

施溫格函式有一系列的條件——解析性（analyticity）、置換對稱性（permutation symmetry）、歐幾里得協變性（Euclidean covariance）、反射正性（reflection positivity），也就是說，為了使滿足懷特曼公理的量子場論的關聯函式都是解析延拓的，這一組定義在歐幾里得時空的不同冪次上的函式必須滿足這四個條件。

奧斯特瓦德-施拉德公理定義

施溫格函式所具有的這些性質就被稱為奧斯特瓦德-施拉德公理（Osterwalder–Schrader axioms）。

哈格-卡斯特勒公理

哈格-卡斯特勒公理（Haag–Kastler axioms）採用代數中的網（net）對量子場論進行公理化。

歐幾里得共形場論公理

歐幾里得共形場論公理（Euclidean CFT axioms）用到了中的共形場論的共形自舉法（conformal bootstrap approach）。它們也被稱為歐幾里得自舉公理（Euclidean bootstrap axioms）。