全平均曲率

全平均曲率(total mean curvature)表征曲面整體性質的一個重要外在概念。

全平均曲率(total mean curvature)表征曲面整體性質的一個重要外在概念.設S是R3中的緊緻連通閉曲面，它的平均曲率為H，積分

稱為曲面S的全平均曲率，這裡dA是曲面S的面積元素.它是由威爾莫(Willmore,T. J.)於1965年首先提出的.對於全平均曲率，有不等式

式中等號若且唯若S為R3中的球面時成立.對於空間閉曲線r所形成的管狀曲面MZ(由曲線r上每點的法平面上以此點為中心、半徑為常數c的圓所構成的曲面)，則有

式中等號成立若且唯若r為圓周，Mz為圓環面，且法平面上的圓半徑與屍的半徑之比為1/ v不2.由此不等式，威爾莫提出以下猜想:對於R3中任何虧格為1的緊緻閉曲面Tz，恆有

這個猜想至今尚未解決.關於全平均曲率的概念，已被陳邦炎等推廣到高維子流形上去.