內部惟一性定理

內部惟一性定理是關於解析函式在區域內部由有聚點的子集惟一確定的定理。設D為一區域，在D內定義著兩個單值解析函式，如果這兩個函式在某一集合E⊂D上相等，而E在D內有聚點，則它們在區域D內恆等。

基本介紹

• 中文名：內部惟一性定理
• 外文名：interior uniqueness theorem
• 適用範圍：數理科學

用聚點定義

內部惟一性定理是關於解析函式在區域內部由有聚點的子集惟一確定的定理。

設D為一區域，在D內定義著兩個單值解析函式，如果這兩個函式在某一集合E⊂D上相等，而E在D內有聚點，則它們在區域D內恆等。

用解析延拓定義

設f₁(z)在區域σ₁中解析，若f₂(z)在另一與σ₁有重疊部分σ₁₂的區域σ₂中解析，且在σ₁₂中f₂(z)≡f₁(z)，則稱f₂(z)為f₁(z)在σ₂中的解析延拓。反之，亦稱f₁(z)為f₂(z)在σ₁中的解析延拓。通俗地說解析延拓就是將解析函式的定義域進行擴大。

設f₁(z)和f₂(z)在區域G中均解析，若在G的任一子區域g中，f₁(z)≡f₂(z)，則在整個區域G中必有f₁(z)≡f₂(z)。

解析函式

解析函式是區域上處處可微分的複函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函式Φ(x，y)與流函式Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f(z)=Φ(x,y)+iΨ(x,y)是可微函式，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的複函數稱為單演函式，後人又把它們稱為全純函式、解析函式。B.黎曼從這一定義出發對複函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。