克羅內克爾因式分解

克羅內克爾因式分解法是德國數學家克羅內克爾發現並擬定出的方法(1845)，是把具有有理係數的多項式分解成不可約因子的方法，這種方法在一般情況下總要檢驗大量的已知多項式值的因數的組合，顯得十分繁雜而難以實用。

基本介紹

• 中文名：克羅內克爾因式分解
• 所屬學科：數學
• 提出者：德國數學家克羅內克爾
• 相關概念：可約多項式、多項式等

基本介紹

對於多項式

往往需要判別其在有理數域上是否是可約多項式，如果是可約多項式，至少求出其兩個因式。

如果不考慮常數因子，可以將看成是整係數多項式。根據高斯引理亦可假設該多項式的未知因式是整係數多項式。

如果是可約的整係數多項式，則存在有和，使恆等式成立。不失討論的一般性，不妨假設的次數m不超過，即的整數部分。對於x的m+1個不同的整數值，的值為整數，未知因式和相應的值亦應是整數。

另一方面，和的值只能是數的因數，因為每個整數只可能有有限多個整因數，所以只能是的整因數之一，只能是的整因數之一，…，只能是的整因數之一。因此未知因式的一組數值一定包含在相應數值的所有可能的因數組合(正數或負數的)之中。對於這些值的每一個m+1因數的組合，可按拉格朗日插值公式或其它方法求得一多項式，然後再用所得多項式去除已知多項式。

套用這種方法逐一檢驗值的所有因數組合直到得到多項式，用它可整除已知多項式而無剩餘。除以所得之商就是多項式的第二個因式。仿此可對所得兩個多項式和中的每一個再行分解。照這樣分解下去便可將多項式分解成數個因式之積(假如它們存在)。

這個方法是德國數學家克羅內克爾發現並擬定出的方法(1845)。

雖然繼克羅內克爾之後一些數學家(如龍格等)對這個方法進行了實質性的改進，但這種方法在一般情況下總要檢驗大量的已知多項式值的因數的組合，顯得十分繁雜而難以實用，值得注意的是雅可夫金經過深入研究，探討了在各方面更簡單而實用的新方法。

克羅內克爾

克羅內克爾(Kronecker，Leopold 1823.12.7-1891.12. 29)是德國數學家。柏林大學教授(1883)。柏林科學院院士(1861)，英國皇家學會會員(1884)。對代數學及數論方面有貢獻。研究了任意線性方程組的聯立檢驗法，給出求帶有理係數的已知多項式有理因子的方法。提出數論方面的克羅內克爾定理。倡導數學的算術化和證明的嚴密性，與魏爾斯特拉斯函式論學派及康托爾集合論學派進行了長期論戰。對方程式論、橢圓函式論、交換環論亦有研究。