克羅內克定理

克羅內克定理(Kronecker theorem)關於代 數方程可根式解的命題.

設n為奇素數,f(二)是有 理數域上的n次不可約多項式,如果代數方程f.(二) 一0有根式解,則此方程或僅有一個實根,或所有根 皆為實數.這是德國數學家克羅內克(Kronecker, L.)得到的一個定理.由此,他得出了:高於4次的 代數方程在一般情況下不可能有根式解的結論,即 阿貝爾定理.利用克羅內克定理可以方便地構造出 許多不能根式解的高於4次的代數方程.例如,使用 下面一個定理:設方程 x+px,.}+q=0,(1> 式中,m,n均為正奇數,nom, p,q為非零實數,且 pG0, 2陰 刀2'"一川 }pl。念 (n一m)(n/ 則方程(1)的根的情形為: 1. D}0時,有一個實根,其餘為虛根. 2. D=。時,有三個實根(其中有兩個等根),其 余為虛根. 3. DGO時,有三個不同實根,其餘為虛根. 根據上述定理可構造不能根式求解的五次方程 x'-ax-b=0,其中正整數a,b能被某素數p整除, 但p2不能整除b,且 {a)。_{b、 }二丁一夕}一丁} {5)(4{ 一般地,奇素數,(妻5)次代數方程x -a二一fi =0,當正整數a,b能被某素數p整除,但p2不能整 除b,且 {a{”_{b{”一l {一}少}—} (n/(n一1) 時,不能根式求解.

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