傅立葉反演公式是經典傅立葉公式的推廣。在數學中，傅立葉反演定理說，對於許多類型的函式，可以從其傅立葉變換中得到原函式。 直觀地，它可以被視為，如果我們知道關於波的所有頻率和相位信息，那么我們可以精確地重建原始波。
基本介紹
- 中文名：傅立葉反演公式
- 外文名：Fourier inversion formula
- 領域：數學
- 基礎：經典傅立葉公式
- 內容：由波頻率相位得到原始波
- 套用：物理、工程套用
公式定義,適用條件,套用,
公式定義
傅立葉反演定理認為如果我們有實數域R中的函式f滿足特定條件，那么我們使用傅立葉變換定理：
適用條件
當用於物理和工程時，經常使用傅立葉反演定理，假設一切都“表現得很好”。在數學中，這種啟發式參數是不允許的，傅立葉反演定理包括什麼類別的功能被允許的明確規定。然而，不存在“最好”的函式類，因此存在傅立葉反演定理的幾個變體，儘管有兼容的結論。
施瓦茨
傅立葉反演定理適用於所有施瓦茨函式（大致來說，平滑函式快速衰減，其衍生值全部衰減）。這個條件有一個好處，它是關於函式的一個基本的直接聲明（與在其傅立葉變換上施加條件相反），定義傅立葉變換的積分和它的逆是絕對可積分的。該定理的這個版本被用於溫度分布的傅立葉反演定理的證明（見下文）。
可積分傅立葉變換的積分函式
傅立葉反演定理適用於具有絕對可積分傅立葉變換的絕對可積分的所有連續函式（即L1（ℝn））。這包括所有Schwartz函式，所以與前面提到的定理相比，這個定理的嚴格性更強。這些條件具有定義傅立葉變換的積分及其逆的絕對可積分的優點。這個條件是上面在語句部分使用的。
一個輕微的變化是放棄函式f是連續的但仍然要求它和它的傅立葉變換是絕對可積分的條件。然後f = g幾乎在所有R中都滿足：
套用
在傅立葉變換的套用中，傅立葉反演定理通常起著關鍵作用。 在許多情況下，基本策略是套用傅立葉變換，執行一些操作或簡化，然後套用傅立葉逆變換。
更抽象地，傅立葉反演定理是關於作為運算元的傅立葉變換的陳述（參見功能空間的傅立葉變換）。 例如，f∈L2（ℝn）的傅立葉反演定理表明，傅立葉變換是f∈L2（ℝn）的單位運算符。
傅立葉反演公式在物理學、聲學、光學、結構動力學、數論、組合數學、機率論、統計學、信號處理、密碼學、海洋學、通訊等領域都有著廣泛的套用。例如在信號處理中，傅立葉反演定理的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量。
DFT在諸多多領域中有著重要套用，下面僅是頡取的幾個例子。需要指出的是，所有DFT的實際套用都依賴於計算離散傅立葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅立葉變換（快速傅立葉變換（即FFT）是計算離散傅立葉變換及其逆變換的快速算法）。
1.頻譜分析
2.數據壓縮
由於人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應於信號的細節，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的範圍內獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅立葉變換完成的。將時域或空域的信號轉換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的係數，在解壓縮端採用逆變換即可重建信號。
3.OFDM
OFDM（正交頻分復用）在寬頻無線通信中有重要的套用。這種技術將頻寬為N個等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調製可以由IDFT實現，而解調可以由DFT實現。OFDM還利用DFT的移位性質，在每個幀頭部加上循環前綴（CyclicPrefix），使得只要信道延時小於循環前綴的長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。
