倍爾數

倍爾是美國的一位數學家，“倍爾數”是指數列1、2、5、15、52……，這個數列排列有一定的規律。

基本介紹

• 中文名：倍爾數
• 外文名：Bell number
• 適用領域：數學
• 所屬學科：組合數學
• 提出者：Eric Temple Bell
• 性質：數列
• 類別：數學

定義

B_n是基數為n的集合劃分數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族，它們的並是S。B₀是1。

例如B₃ = 5因為3個元素的集合{a, b, c}有5種不同的劃分方法：

• {{a}, {b}, {c}}
• {{a}, {b, c}}
• {{b}, {a, c}}
• {{c}, {a, b}}
• {{a, b, c}}

性質

貝爾數適合遞推公式：

它們也適合“Dobinski公式”：

期望值為1的泊松分布的''n''次矩。

它們也適合“Touchard同餘”：若p是任意質數，那么

每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和

Stirling數S（n, k）是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。

把任一機率分布的n次矩以首n個累積量表示的多項式，其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。

貝爾數的指數母函式是

套用

“倍爾數”與詩詞有著奇妙的聯繫，套用倍爾數可以算出詩詞的各種押韻方式，這在大詩人雪萊的《致雲雀》及其他名家的許多詩篇中可以得到驗證。

規律

“倍爾數”的規律如下：

1

1， 2

2， 3， 5

5， 7， 10， 15

15， 20， 27， 37， 52

52， 67， 87， 114， 151， 203

…… ……

這樣的數列，形狀像個三角形，因而又叫“倍爾三角形”，巧得很，第一豎列依次是1、1、2、5、15、52……，右邊斜行也是1、2、5、15、52……

你能發現每行數是怎樣形成的嗎？有什麼規律嗎？你能按每個數形成的規律再寫出兩行倍爾數嗎？

仔細觀察、分析可知倍爾數的形成有兩條規律：1、每排的最後一個數都是下一排的第一個數；2、其他任何一個數等於它左邊相鄰數加左邊相鄰數上面的一個數。

根據上面的兩條規律我們可以知道：

第七行：203，255，322，409，523，674，877

第八行：877，1080，1335，1657，2066，2589，3263，4140

…… ……