保測動力系統

定義

也就是說, 保測動力系統

具有下面結構:

X是一個集合,

是X上的一個σ-代數,

為一個可測變換, 並且保持測度

, i. e. 對任意

滿足

。

此時, 稱T為機率空間

上的一個保測變換。

機率空間

機率空間是機率論的基礎。機率的嚴格定義基於這個概念。

機率空間(Ω,F,P)是一個總測度為1的測度空間（即P(Ω)=1）.

第一項Ω是一個非空集合，有時稱作“樣本空間”。Ω 的集合元素稱作“樣本輸出”，可寫作ω。

第二項F是樣本空間Ω的冪集的一個非空子集。F的集合元素稱為事件Σ。事件Σ是樣本空間Ω的子集。集合F必須是一個σ-代數：

；

若

，則

；

若

，

，則

(Ω,F)合起來稱為可測空間。事件就是樣本輸出的集合，在此集合上可定義其機率。

第三項P稱為機率，或者機率測度。這是一個從集合F到實數域R的函式，

。每個事件都被此函式賦予一個0和1之間的機率值。

機率測度經常以黑體表示，例如

或

，也可用符號"Pr"來表示。

可測變換（可測函式）是從一個測度空間到另一個測度空間之間的一個映射，它將前者中的可測集映射為後者中的可測集。

給定兩個測度空間Ω₁和Ω₂，映射f：Ω₁→Ω₂稱為從Ω₁到Ω₂的可測變換。若f滿足：∀Ω₂中的可測集S，f(S)是Ω₁中的可測集。

設f是從Ω₁到Ω₂的可測變換，且f是雙射，則稱f為從Ω₁到Ω₂的雙可測變換。