保守振動方程周期解的存在性研究

《保守振動方程周期解的存在性研究》是依託中國礦業大學，由劉文斌擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：保守振動方程周期解的存在性研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉文斌
• 依託單位：中國礦業大學

項目摘要

本項目研究保守振動方程周期解的存在性，研究高階、高維微分方程周期問題Fucik譜的結構和分數階微分方程周期問題譜的結構。在振動分析中，利用振動的譜點和Fucik譜點，控制勢能函式的增長階和漸進狀態，給出在跨共振點情況下保守振動方程周期解存在性的若干判據；在譜和Fucik譜的框架下，探求保守型微分方程、p-Laplacian微分方程以及分數階微分方程周期解存在性之間的內在關係，以期揭示保守型振動方程周期解存在性的機理和統一規律；建立高階、高維微分方程和分數階微分方程周期解存在的有效判據；對所研究的問題給出數值模擬，並對相關的保守系統和頻譜不對稱的時變保守系統的動力學行為進行實證分析。項目所得結果將改進、豐富和完善已有的相關工作，為工程技術、經濟分析等相關問題提供理論支撐。

結題摘要

本項目主要研究振動方程周期解的存在性，微分方程、分數階微分方程邊值問題解的存在性、多解性，邊值問題的反問題以及隨機生物數學模型解的性態等問題。 對周期問題，研究一類保守型p-Laplacian微分系統周期解的存在性，在p-Laplacian微分運算元Fucik譜的框架下，給出系統周期解存在性條件；研究二階方程、二階Lienard型p-Laplacian微分系統和四階p-Laplacian多時滯微分方程周期解的存在性，在較弱的條件下，得到若干周期解的存在定理；基於拓撲度理論，建立了分數階p-Laplacian微分運算元在周期條件下的連續定理，為研究此類問題提供了理論支撐，利用此定理證明了一類分數階p-Laplacian微分方程周期邊值問題解的存在性。 對邊值問題，研究了p-Laplacian微分方程在無窮區間上積分邊值條件和有界區間上兩點邊值條件下解的存在性，通過構建新的無窮邊值問題解的存在性準則和基於p-Laplacian微分方程上下解的比較定理，分別給出兩類問題解的存在性條件。對分數階邊值問題，通過完善分數階Sobolev空間的結構，研究其上的相關性質，為套用臨界點理論研究分數階邊值問題解的存在性提供理論支撐，利用分數階Sobolev空間，研究了幾類具有變分結構的分數階邊值問題弱解的存在性和正則性；對分數階微分方程多類邊值問題，利用不同理論和方法，給出若干解的存在性、多解性和唯一性定理。 對生物數學模型，研究了幾類隨機Logistic方程解的存在性和解的性態，證明了模型在一定條件下具有漸近穩定性；對捕食與被捕食模型，給出了最優俘獲存在性準則。 項目研究所得結果，推廣、改進了一些相關結果，豐富了該領域的研究工作，為相應的實際問題研究提供了理論支撐。