交族

交族(intersecting family)邊的集合。給定一個超圖H，稱它的邊的一個集合為交族，其中任意兩條邊的交均非空。若H本身就是一個交族，則超圖H稱為交超圖。

基本介紹

• 中文名：交族
• 外文名：intersecting family
• 分類：集合
• 屬性：數學術語
• 相關：交超圖

簡介

愛爾特希一柯一拉多定理：若H是一個階為n的簡單超圖，H的秩r(H)=ran/2，H的度記為m(H)，則更進一步，當H是K(r<n/2)的一個時，等式成立。這一定理首次在愛爾特希(Erdos,P.)、柯召和拉多(Rado,R.)於1961年聯名發表的一篇文章中。

集族

集族是一種特殊的集合，以集合為元素的集合稱為集族。例如，集A的冪集P(A)是一個集族，P(P(A))，P(P(P(A))都是集族。又例如，由空集φ、集合A={1，2，3}作為元素的集合M={φ，A}是一個集族。 注意，由空集φ作為元素的集合是一個集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同於{ }。

在這裡，A= {φ}是具有一個元素的集合，是單元素集。集族常用花體字母A，B，C等表示，取A為標號集，A到集族A的一一對應(雙射)為f:a→Aa，則集族A可記為{Aa|a∈A}或{Aa}a∈A。當A為線性序集{…,a,…,b,…,c,…}時，集族{…,Aa,…,Ab,…,Ac,…}稱為集列。

集族（family of sets）是由具有某種性質的一些集合所構成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圓盤是集合，因此平面上一切圓盤所成的集合就是一個集族。又如一個集合的一切子集所構成的集合也是一個集族。

相關研究

有限集交族是組合數學的一個重要分支，研究的是[n]={1,2,…,n}的子集族在滿足特定性質下，其元素個數的上界問題。對有限集交族的研究方法主要有關聯矩陣法，幾何半格法，多重線性多項式的線性無關性方法。

利用多重線性多項式的線性無關性方法研究特定條件下的交族和交族的上界問題。有限集交族的發展史和研究現狀，接其基本概念和性質，在Frankl-Wilson定理的基礎上，通過添加特殊條件：當時，可以將交族的上界進行最佳化。在Alon-Babai-Suzuki定理的基礎上，把限制條件ki>s-r進行弱化，並用改進的方法研究C交族，將該定理進行了推廣，將定理中的條件弱化為r(s-r+1)≤p-1，仍然可以得到同樣的上界。

設Λ為{1,2,…,n}的一些子集構成的子集族，S為非負整數構成的集合，若對任意的E，F∈Λ，E≠F，均有E∩F∈S，則稱Λ為{1,2,…,n}上的一個S-交族。

給出了S={l,l+1,…,k}為正整數集合，l≤(k+1)/2時，S-交族元素個數的一個上界，這一結果強於著名的Frankl-Wilson定理。