交叉同態(crossed homomorphism)亦稱導映射，一種特殊的映射。設M是左G模，f：G→M是一個映射。若對任意σ，τ∈G，都有f(στ)=σf(τ)+f(σ)，則稱映射f為由群G到左G模M的交叉同態。
基本介紹
- 中文名：交叉同態
- 外文名：crossed homomorphism
- 領域：數學
- 別稱：導映射
- 對象：左G模
- 性質：同態
概念,映射,模,G模,同態,
概念
交叉同態亦稱導映射。一種特殊的映射。設M是左G模，f：G→M是一個映射。若對任意σ，τ∈G，都有f(στ)=σf(τ)+f(σ)，則稱映射f為由群G到左G模M的交叉同態。若f，g是兩個交叉同態，對任意σ∈G，規定
映射
亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。
模
一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M。給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：
1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態aM：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射μ： A→End(M)， a→aM。
特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：
2.(a+b)x=ax+bx;
3.(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為AM。類似地，有右A模M，記為MA。若A有單位元1，且又滿足條件
4.1x=x (x∈M);
則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。
G模
G模是一種重要的模。它是以群為運算元區的模。設G為一個乘法群，M是加法交換群，若對每個σ∈G和x∈M，都有惟一確定的積σx∈M，並且對任意x，y∈M，σ，τ∈G，滿足條件：
1.σ(x+y)=σx+σy；
2.σ(τx)=(στ)x；
3.1x=x，其中1是群G的單位元素；
則稱M為一個左G模。設M是左G模，若σx=x，σ∈G，x∈M，則稱M是平凡左G模。設G是一個群，以ZG表示整數環Z上的群環。若對任意λ=∑nσσ∈ZG，x∈M，規定λx=∑nσ(σx)，則M是左ZG模。反過來，若M是左ZG模，規定σx=(1σ)x，這裡σ∈G，x∈M，1∈Z，則M也是左G模。因此，沒有必要區分這兩類模，這就是說，G模就是ZG模，ZG模也就是G模。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
