基本介紹
- 中文名：亞阿貝爾群
- 外文名：met-Abelian group
- 領域：數學
- 性質：可解群
- 廣義群：阿貝爾群
- 提出者：挪威數學家阿貝爾
概念介紹,群,可解群,超可解群,阿貝爾群,循環群,人物簡介,
概念介紹
亞阿貝爾群(metAbelian group)是一種可解群。指導出列長度至多為2的群。設G是群，若G有導出列
，則稱G為亞阿貝爾群。設G是群，若G有循環的正規子群N，使得G/N為循環群，則稱G為亞循環群。亞循環群是特殊的超可解群。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
可解群
一種重要的群類.即可由交換群經有限步疊加而得的群。若群G有一個有限長的正規群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每個商因子都是交換群，則稱G是一個可解群，或稱G是可解的。可解群的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數方程的研究，他發現由一個代數方程的所有解可產生一個置換群(也就是擴域的自同構群，稱之為一個伽羅瓦群)，這個代數方程能用根式解出若且唯若該群具有正規列。可解群的名稱由此而來.霍爾(Hall，P.)於20世紀30—40年代對有限可解群理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑。近幾十年，有限可解群研究仍屬活躍領域。例如群系等群類理論就始於有限可解群研究並以可解群為重點。對無限可解群的研究也有了長足的進步。儘管有限可解群的研究方法與成果不能完全推到無限可解群，但帶交換商因子的正規列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發揮出色的作用。
超可解群
超可解群是一種重要的群類。指能用循環群有限疊加起來的群。若一個群有一個有限長的正規列且其商因子均為循環群，則稱之為超可解群。有限超可解群也就是秩為1的有限可解群。對超可解群的研究已經形成了相當豐富的理論。對有限超可解群的研究已很透徹，貝爾(Baer，R.)、胡佩特(Huppert，B.)等人有重要貢獻。對無限超可解群也有豐富的研究成果。
阿貝爾群
阿貝爾群亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元).用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
循環群
循環群是一種重要的群。即由一個元素生成的群。循環群分為兩類：一類是有限循環群，n個元的有限循環群與模n的剩餘類加群同構；另一類是無限循環群，它與整數加法群同構.循環群是特殊的阿貝爾群。循環群的子群和商群仍是循環群。
一個群G，其中存在一個元素a，使得G中任何元素都可以表示成ak的形式(k為整數)。a稱為它的生成元。循環群是一種交換群。
循環群也叫有限單演群。
例如，單位1的全體n次根的集合，即是說賦以乘法的方程zn=1的全體複數根的集合是n階循環群。賦以加法的集合Z/nZ是n階循環群。
人物簡介
阿貝爾是一位偉大的挪威數學家。生於芬島，卒於弗魯蘭。阿貝爾的父親是一位基督教牧師，家境貧困。13歲時阿貝爾入奧斯陸一所教會學校學習，15歲時幸遇優秀數學教師霍爾姆伯。他發現了阿貝爾的數學天才並給予悉心指導。阿貝爾一生得到霍爾姆伯許多幫助。1821年，在霍爾姆伯等人的資助下，阿貝爾進入克里斯蒂安尼亞大學學習。1824年，他解決了困擾數學界200多年的五次方程求解問題，證明了一般五次方程不可能用根式求解，開闢了研究近世代數方程論的道路。他的論文以小冊子的形式刊行，也送給了高斯，但沒有引起任何反響。1825年阿貝爾到歐洲大陸，準備繼續深造並謀求職務。在德國他結識了克雷爾，這是在他一生中第二個對他的事業有極大幫助的人。他與施泰納建議克雷爾創辦了著名數學刊物《純粹與套用數學雜誌》。這個雜誌頭三捲髮表了阿貝爾的22篇包括方程論(見《高於四次的一般方程的代數求解之不可能性的證明》)、無窮級數、橢圓函式論等方面的論文。阿貝爾在歐洲大陸沒有謀到合適的職位，1827年他貧病交迫地回到了挪威。一年以後，不到27歲的阿貝爾就病逝了。他去世的第二天，克雷爾來信通知他被柏林大學任命為教授。阿貝爾對數學的貢獻是多方面的。除了五次方程以外，他還研究了更廣一類的代數方程，後人發現這是具有交換的伽羅瓦群的方程。為了紀念他，人們稱交換群為阿貝爾群。阿貝爾還是公認的橢圓函式論的奠基人之一。他發現了橢圓函式的加法定理、雙周期性，並引進橢圓積分的反演。他的一系列工作為橢圓函式論的研究開拓了道路。他還研究無窮級數，得到一些判別準則以及關於冪級數求和的定理。這些工作使他成為分析學嚴格化的推動者。
