主元(pivot element)，一種變元。指在消去過程中起主導作用的元素。
基本介紹
- 中文名：主元
- 外文名：pivot element
- 適用範圍：數理科學
主元消去法,部分主元高斯消去法,全主元高斯消去法,套用,
主元消去法
[pivoting elimination method]
高斯消去法在消元過程中可能出現零主元，即
，這時消元過程將無法進行；也可能主元
，但其絕對值非常小，用它做除法將會導致捨入誤差的擴散，使數值解不可靠。解決該問題的辦法是避免使用絕對值過小的元素作主元。選主元早在1947年就已由馮·諾依曼（von Neumann）和戈爾德施泰因（Goldstine）所使用。
在第 k 步消元時，通常採用如下方式選取主元：在
中選擇絕對值最大者作為主元；或在
中選擇絕對值最大者作為主元。前者被稱為部分主元（partial pivoting）或列主元，後者則被稱為全主元（complete pivoting）。術語“部分主元”和“全主元”由威爾金森（Wilkin-son）所提出。
部分主元高斯消去法
部分主元高斯消去法消元過程的第 k 步如下：
（1）選主元，選取
作為主元。若
有多個值，則取 中最小者；
（2）交換
的第 k ， 行，並將交換之後的增廣矩陣仍記為 ；
（3）將 第 k 行的
倍加到第i=（i=k=1,...,n）行。
也可以用矩陣運算表示部分主元高斯消去法的消元過程。交換單位矩陣 I 的第 i ，j（i < j）兩行（列）所得的矩陣被稱為初等置換矩陣，記為
，簡記為
，則 是對稱正交矩陣。設第 k 步中交換 第 k， 行的初等置換矩陣為
，高斯變換矩陣為
。記
，
則可以證明：P 是排列矩陣，並且PA=LU。因此，矩陣 A 的部分主元消元過程實現了 A 的一個部分主元三角分解。
全主元高斯消去法
全主元高斯消去法消元過程的第 k 步如下：
（1）選主元，選取
作為主元。若
有多少個值，則分別取 中最小者；
（2）交換 的第 k ，
行和第
列，並將交換之後的增廣矩陣仍記為；
（3）將第 k 行的倍加到第
行。
經過
步消元，得到數組
和
，其中
是該上三角矩陣。套用回代法即可求得上三角方程組的解，利用數組可得到原方程的解。
全主元高斯消去法的消元過程也可用矩陣運算表示。設第 k 步中交換的第行的初等置換矩陣為，交換
的第列第初等置換矩陣為
，高斯變換矩陣為。記
,
，，則可以證明：P，Q是排列矩陣，並且PAQ=LU。因此，矩陣 A 的全主元消元過程實現了 A 的一個全主元三角分解。
套用
在20世紀40年代中期，馮·諾依曼等預言高斯消去法一定是數值不穩定的。在20世紀50年代早期，計算經驗已經證實主元高斯消去法實際上是穩定的。對這種現象的解釋在理論上是一個很大的挑戰。威爾金森因對這個課題的貢獻而成名。可以證明：如果 n 階矩陣 A 非奇異，則用主元高斯消去法求解Ax=b 所得到的計算解
滿足
，其中
是單位捨入，
為主元高斯消去法的增長因子。
主元高斯消去法的數值穩定性取決於其增長因子的大小。對於部分主元高斯消去法，其增長因子
以
為上界。威爾金森和賴特（Wright）構造了一些例子，說明部分主元高斯消去法的增長因子的這個上界是可以達到的。但是，在大多數實際計算中，由部分主元高斯消去法所產生的矩陣元素迅速增長的情況非常罕見。
對全主元高斯消去法，威爾金森證明了
。威爾金森指出，對於充分大的 n ，這個界遠遠小於。據此可以推斷：全主元高斯消去法是數值穩定的。威爾金森曾猜測：全主元高斯消去法的增長因子以矩陣的階為界，即
。但是，古爾德（Gould）構造了一個反例，說明威爾金森的猜測是不正確的。
