基本介紹
- 中文名：高斯-若爾當消元法
- 外文名：Gauss-Jordan Elimination
- 領域：數學
- 屬性：高斯消元法的另一個版本
- 其他譯名：高斯-約旦消元法
- 簡稱：G-J消元法
簡介,G-J消元法的初等變換方法,Gauss-Jordan法求解方程組過程,引例,求解過程,用G-J消元法求逆,原理,示例,
簡介
數學上，高斯消元法（或譯：高斯消去法），是線性代數規劃中的一個算法，可用來為線性方程組求解。但其算法十分複雜，不常用於加減消元法，求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。不過，如果有過百萬條等式時，這個算法會十分省時。一些極大的方程組通常會用疊代法以及花式消元來解決。當用於一個矩陣時，高斯消元法會產生出一個“行梯陣式”。高斯消元法可以用在電腦中來解決數千條等式及未知數。亦有一些方法特地用來解決一些有特別排列的係數的方程組。
Gauss-Jordan消元法在很多地方都會用到，例如求一個矩陣的逆矩陣、解線性方程組，等等。它的速度不是最快的，但是它非常穩定， 同時它的求解過程也比較清晰明了， 因而人們使用較多。相對於高斯消元法，Gauss-Jordan消元法最後的得到線性方程組更容易求解，它得到的是簡化行列式。其轉化後的增高矩陣形式如圖1所示，因此它可以直接求出方程的解，而無需使用替換算法。但是，此算法的效率較低。
圖1
G-J消元法的初等變換方法
G-J 消元法通過這樣的方法來進行初等變換：在每一個循環過程中，先尋找到主元，並將主元通過行變換 （無需列變換） 移動到矩陣的主對角線上， 然後將主元所在的行內的所有元素除以主元，使得主元化為 1；然後觀察主元所在的列上的其他元素，將它們所在的行減去主元所在的行乘以一定的倍數， 使得主元所在的列內、 除主元外的其他元素化為 0，這樣就使得主元所在的列化為了單位矩陣的形式。 這就是一個循環內做的工作。 然後， 在第二輪循環的過程中， 不考慮上一輪計算過程中主元所在的行和列內的元素， 在剩下的矩陣範圍內尋找主元， 然後（如果其不在主對角線上的話） 將其移動到主對角線上， 並再次進行列的處理， 將列化為單位矩陣的形式。 餘下的步驟依此類推。 具體的計算過程的一個例子， 請看下面求逆矩陣的過程的例子。
Gauss-Jordan法求解方程組過程
引例
假設有如下的方程組：
寫成矩陣形式就是： AX=B ，其中：
且
，現對矩陣 A 作初等變換，同時矩陣 B 也作同樣的初等變換，則當 A 化為單位矩陣的時候，有：
顯而易見，我們得到了方程組的解：
。
所以， 我們要以一定的策略， 對 A 和 B 施以一系列的初等變換， 當 A 化為單位矩陣的時候，B 就為方程組的解。
求解過程
如果要解係數矩陣相同、右端向量不同的 N 個方程組，在設計程式的時候，沒有必要 ”解 N次方程組 “，我們完全可以在程式中，將所有的右端向量以矩陣的數據結構（類似於二維數組）來表示， 在係數矩陣作行變換的時候， 矩陣里的每一個右端向量也做同樣的變換， 這樣，我們在一次求解運算的過程中，實際上就是同時在解 N 個方程組了。
用G-J消元法求逆
原理
假設 AX=E ，其中， A 為 n 階係數矩陣（與上面的解線性方程組對照）；E 為單位矩陣，即
，其中
為單位列向量； X 為 n 個列向量構成的矩陣，即
，其中
為列向量。於是，可以把等式 AX=E 看成是求解 n 個線性方程組
，求出了所有的
之後，也即得到了矩陣 X。而由 AX=E 可知，矩陣 X 是 A 的逆矩陣，即
。這樣，就求出了 A 的逆矩陣了。於是，求逆矩陣的過程被化成了解線性方程組的過程，因此我們可以用 Gauss-Jordan 消元法來求逆矩陣。求逆矩陣時，係數矩陣 A 和單位矩陣 E 可以共用一塊存儲區，在每一次約化過程中，係數矩陣逐漸被其逆矩陣替代。
示例
有如下的方程組：
顯而易見，該方程組對應的係數矩陣 A 和右端向量矩陣 B（此處只有一個右端向量）分別為：
其實在求逆矩陣的過程中，矩陣 B 無關緊要，可以忽略，不過此處還是把它寫出來了。下面，把單位矩陣 E 附在 A 的右邊，構成另一個矩陣（A|E）：
下面，通過矩陣的初等變換，將 A 化為單位矩陣 E，而 E 則化為了 A 的逆矩陣。以下是轉化步驟：
（1）主元選為 3，所以將 Row1 （第一行）與 Row2 （第二行）交換：
（2）主元所在行的所有元素除以主元：
（3）Row1 – Row2 ，Row3 – 2 × Row2 ：
現在，原來的矩陣 A 有一列被化為了單位陣的形式。
（4）重新選主元，這一次主元選為 5/3，於是 Row1 ÷ 5/3 （主元所在行的所有元素除以主元）：
（5）Row2 – (1/3) × Row1 ，Row3 – (4/3) × Row1 ：
現在，原來的矩陣 A 又有一列被化為了單位陣的形式。
（6）重新選主元，這一次主元選為 -1/5 ，於是 Row3 ÷ (-1/5) （主元所在行的所有元素除以主元）：
（7）Row1 – (2/5) × Row3 ，Row2 – (1/5) × Row3 ：
現在，原來的矩陣 A 的所有列都被化為了單位陣的形式。可見，以上過程非常適合於計算機編程求解。至此，我們完成了從 A 到 E 的轉換，這個過程中使用了選主元的方法，但沒有使用列交換。於是，原來的單位矩陣 E 就變成了
，即：
