不適定問題

經典的數學物理方程定解問題中，人們只研究適定問題。適定問題是指定解滿足下面三個要求的問題：① 解是存在的；② 解是唯一的；③ 解連續依賴於定解條件，即解是穩定的。這三個要求中，只要有一個不滿足，則稱之為不適定問題。

基本介紹

• 中文名：不適定問題
• 外文名：ill-posed problem
• 漢語拼音：bushiding wenti
• 定義：連續使其離散化從而取得數值解

簡介

20 世紀50 年代，前蘇聯數學家吉洪諾夫(A.H.Tychonoff) 提出的正則化方法是較為重要的一種。

例舉

不適定問題的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西問題。其他的一些不適定問題有：第一種弗雷德霍姆積分方程、反向熱導方程的邊值問題、波動方程的狄利克雷問題和不少微分方程的反問題，等等。

第一類弗雷德霍姆積分方程

其中，a,b 是常數，K(x,s)、f(x) 都是已知函式，φ(s) 是未知的。一般說來該方程是無解的；即使有解，解也不一定唯一；而且即使存在唯一解，解也是不穩定的。對於一個給定的定解問題，如果條件 ③不滿足，那么就稱為阿達馬(J.Hadamard)意義下的不適定問題，如阿達馬例。其他一些不適定問題有逆向熱傳導問題以及其他反問題等。

套用

套用當初

在一段時間裡，人們認為不適定問題不反映任何物理現象，而無研究價值。

套用領域

隨著生產和科學技術的發展、套用的迫切需要，各種各樣的不適定問題出現在許多領域中，如地球物理、連續介質力學、自動控制、大氣物理、全息照相、天體力學、熱力學、 電磁學、 熱擴散理論、電子聚焦問題等，這些問題一般沒有精確解，為了求得具有一定精度的穩定近似解，已經提出許多有效的解法。

拉普拉斯方程的柯西問題、波動方程對非空向 (nonspace-like)初始流形的初值問題，在地球物理勘探的資料解釋和數據處理中，皆具有重要的套用。

發展

求解條件

由於這些問題的數據常常是通過測量給出的近似值，問題通常沒有精確解。因此，人們就去尋找滿足方程但只是近似地適合定解條件的所謂近似解，或近似地滿足方程的近似解。當然，這些近似解一般是沒有惟一性的，但是若對近似解所在的函式類加以適當的限制，例如緊性的限制，便可以保證近似解對數據的連續依賴性。

求解備註

在求問題數值解時，須明確在什麼度量下對近似解加以緊性限制，使問題變為適定，且切合實際的需要。