基本介紹
例子,公式,坐標變換,
例子
內心有三線 1:1:1，這就是說，從三角形 ABC 的內心到邊 BC、 CA、AB 的有向距離和實際距離有序三元組 (r, r, r) 成比例，這裡 r 是三角形 ABC內切圓的半徑。注意到記號 x:y:z 用比例冒號區分三線和實際有向距離。實際距離有序三元組 (kx, ky, kz)，能從比例 x : y : z 得到，
利用面積關係不難算得
這裡 a, b, c 分別是邊長 BC、 CA、 AB， σ = ABC 的面積。（“逗號記法”應該避免使用。因為記號 (x, y, z) 意味著是一個有序三元組，不允許 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之類運算；然而“比號記法”允許 x : y : z = 2x : 2y : 2z。）
設 A、B 和 C 不僅表示三角形的頂點，也是在相應頂點的角。一些熟知點的三線如下：
- A = 1 : 0 : 0
- B = 0 : 1 : 0
- C = 0 : 0 : 1
- 內心 = 1 : 1 : 1
- A-旁心 = −1 : 1 : 1
- B-旁心 = 1 : −1 : 1
- C-旁心 = 1 : 1 : −1
- 外心 = cos A : cos B : cos C
- 垂心 = sec A : sec B : sec C
- 九點圓圓心 = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
- 重心 = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 1/c = csc A : csc B : csc C
- 類似重心 = a : b : c = sin A : sin B : sin C
注意到，內心一般不是重心，重心有重心坐標 1:1:1（它們和實際有向面積 BGC、 CGA、AGB 成比例，這裡 G = 重心）。
公式
利用三線坐標可將許多代數方法運用於三角形幾何。比如，三點
- P = p : q : r
- U = u : v : w
- X = x : y : z
是共線的，若且唯若行列式等於 0。這性質的對偶是三條直線
- pα + qβ + rγ = 0
- uα + vβ + wγ = 0
- xα + yβ + zγ = 0
交於一點（若無窮遠點，即平行）若且唯若 D = 0。
另外可算得三角形 PUX 的面積= KD，這裡 K = abc/8σ，如果 PUX 和 ABC定向相同，定向相反則 K = - abc/8σ。
許多三次曲線用三線容易表示。比如，中樞自等共軛三次曲線 Z(U,P)，作為點 X 的軌跡使得 X 的 P-等共軛點位於直線 UX上，由行列式方程確定。
一些有名的三次曲線 Z(U,P)：
- Thomson 三次曲線： Z(X(2),X(1))， 這裡 X(2) =重心， X(1) =內心
- Feuerbach 三次曲線：Z(X(5),X(1))，這裡 X(5) =費爾巴哈點
- Darboux 三次曲線： Z(X(20),X(1))，這裡 X(20) =De Longchamps 點（De Longchamps point）
- Neuberg 三次曲線： Z(X(30),X(1))，這裡 X(30) =歐拉無窮遠點
