三垂線定理的逆定理

如果平面內一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直於這條斜線在平面內的射影。

基本介紹

• 中文名：三垂線定理的逆定理
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學幾何
• 證明方法數：三種

證明

如圖，已知a⊥OP,a⊂α，PA⊥α於A。求證a⊥OA

幾何證明

∵PA⊥α，a⊂α

∴PA⊥a

∵PO⊥a∴a⊥面OPA

∴a⊥OA

向量證明

設a的方向向量為a，取 ， ，

∵PA⊥α，即 是α的法向量，且a⊂α

∴ ⊥a，∴ ·a=0

∵ ⊥a，∴ ·a=0

·a=（ - ）·a= ·a- ·a=0

∴AO⊥a

三餘弦定理證明

在a上另取一點Q，由三餘弦定理得cos∠POQ=cos∠POA*cos∠AOQ

∵PO是斜線

∴cos∠POA≠0

∵PO⊥a

∴cos∠POQ=0

∴cos∠AOQ=0

∴AO⊥a