哈密頓運算元

在磁場和電場理論中，為簡化運算，引入了一些運算元的符號，它們已經成為場論分析中不可缺少的工具，套用較多的有哈密頓運算元和拉普拉斯運算元。哈密頓運算元（ Hamiltonian）， 數學符號為▽，讀作Nabla。量子力學中，哈密頓運算元(Hamiltonian) 為一個可觀測量（observable），對應於系統的的總能量。

基本介紹

• 中文名：哈密頓運算元
• 外文名：Hamiltonian
• 數學符號：▽
• 讀作：Nabla
• 縮寫符號：H
• 套用學科：磁場和電場理論，數學

定義

哈密頓（W.R.Hamiltonian）引進了一個矢性微分運算元： ，稱之為哈密頓運算元或者▽ 運算元。

記號▽ 讀作“那勃樂（Nabla）”，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函式的微分運算轉變為矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。

▽ 本身並無意義，就是一個運算元，同時又被看作是一個矢量，在運算時，具有矢量和微分的雙重身份。

運算規則

矢性微分運算元

哈密頓引進了一個矢性微分運算元稱為哈密頓運算元或 運算元： 。

記號讀作“那勃勒”，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函式的微分運算轉變為矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。

其運算規則為

前面見過的梯度、散度和旋度都可以用運算元表示為

，，

與梯度、散度、旋度的關係

數量（標量）場的梯度與矢量場的散度和旋度可表示為：

（1） ；

（2） ；

（3） 。

與拉普拉斯運算元的關係

常用公式

準備工作

設，首先引入新的矢性微分運算元，如下所示：

它既可以作用在數性函式 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函式B(M) 上。

（1）；

（2）。

需要注意的是：

（1）與 是完全不同的；

（2）與是無意義的。

公式匯總

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）；

（13）；

（14）；

（15）；

（16）；

（17）；

（18），其中。