帕松方程式

詳細介紹

泊松方程為△φ=

在這裡△代表的是拉普拉斯算符(也就是哈密頓算符▽的平方)，而f和φ可以是在流形上的實數或複數值的方程。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯運算元通常表示為，

因此泊松方程通常寫成

或

在三維直角坐標系，可以寫成

如果沒有，這個方程就會變成拉普拉斯方程△φ=0

泊松方程可以用格林函式來求解；如何利用格林函式來解泊松方程可以參考screenedPoissonequation。現在有很多種數值解。像是，不斷迴圈的代數法，就是一個例子。

數學上，泊松方程屬於橢圓型方程（不含時線性方程）。

泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；當考慮引力場時，有△Φ=f（f為引力場的質量分布）。後推廣至電場磁場，以及熱場分布。該方程通常用格林函式法求解，也可以分離變數法，特徵線法求解。

泊松方程是描述靜電場電位函式Φ與其源（電荷）之間的關係的微分方程。

△Φ=-ρ/ε

其中，ρ為電荷密度（ρ=▽·D，D為電位移。），ε為相對介電常數。