立方差公式

簡介

立方差公式也是數學中常用公式之一，在高中數學中接觸該公式，且在數學研究中該式占有很重要的地位，甚至在高等數學、微積分中也經常用到。立方差公式與立方和公式共稱為完全立方公式。

具體為：兩數的平方和加上兩數的積再乘以兩數的差，所得到的積就等於兩數的立方差。

用公式表達即：

由於立方項不好拆分，但是我們學過，遇到高階項要儘量採用低階項來對其進行簡化處理，所以很容易想到a²，同時由於對a³降階的同時還要和b³進行結合，所以很容易想到a²b這樣一個加法項，因此對上式採取分別加和減一個a²b項，得到下式，同時進行相應的合併

a³-b³=a³-b³+a²b-a²b

=a²(a-b)+b(a²-b²)

=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)

=[a²+b(a+b)](a-b)

=(a-b)(a²+ab+b²)

證得：

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

因為(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

所以根據交換律法則：

a³-b³=(a-b)³-(-3a²b+3ab²)

=(a-b)(a-b)²+(3ab*a)-(3ab*b)

=(a-b)(a-b)²+(a-b)(3ab)

=(a-b) [(a-b)²+3ab]

=(a-b) [(a²-2ab+b²)+3ab]

=(a-b)(a²+ab+b²)

證得：

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

類似的，我們有立方和公式及其推廣：

(1) a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)]

n為大於零的奇數，r為中括弧內項的序數，後面括弧中各項式的冪之和都為n-1，aⁿ表示a的n次方。(n大於0且n不等於2)

解題時常用它的變形：(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)和 a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)=(a+b)(a²+b²-ab)

相應的，立方差公式也有變形：a³-b³=(a-b)³+3ab(a-b)=(a-b)(a²+b²+ab)

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