線性規劃(線性規劃英文縮寫)

線性規劃簡介

數學模型

（1）列出約束條件及目標函式

（2）畫出約束條件所表示的可行域

（3）在可行域內求目標函式的最優解及最優值

標準型

描述線性規劃問題的常用和最直觀形式是標準型。標準型包括以下三個部分：

一個需要極大化的線性函式:

　
以下形式的問題約束：

和非負變數：

其他類型的問題，例如極小化問題，不同形式的約束問題，和有負變數的問題，都可以改寫成其等價問題的標準型。

模型建立

從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟；

1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變數；

2.由決策變數和所在達到目的之間的函式關係確定目標函式；

3.由決策變數所受的限制條件確定決策變數所要滿足的約束條件。

所建立的數學模型具有以下特點：

1、每個模型都有若干個決策變數（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變數個數。決策變數的一組值表示一種方案，同時決策變數一般是非負的。

2、目標函式是決策變數的線性函式，根據具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統稱為最最佳化（opt）。

3、約束條件也是決策變數的線性函式。

當我們得到的數學模型的目標函式為線性函式，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。

例：

生產安排模型：某工廠要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備台時及A、B兩種原材料的消耗，如表所示，表中右邊一列是每日設備能力及原材料供應的限量，該工廠生產一單位產品Ⅰ可獲利2元，生產一單位產品Ⅱ可獲利3元，問應如何安排生產，使其獲利最多？

解：

1、確定決策變數：設x1、x2分別為產品Ⅰ、Ⅱ的生產數量；

2、明確目標函式：獲利最大，即求2x1+3x2最大值；

3、所滿足的約束條件：

設備限制：x1+2x2≤8

原材料A限制：4x1≤16

原材料B限制：4x2≤12

基本要求：x1，x2≥0

用max代替最大值，s.t.（subject to 的簡寫）代替約束條件，則該模型可記為：

max z=2x1+3x2

s.t. x1+2x2≤8

4x1≤16

4x2≤12

x1，x2≥0

解法

求解線性規劃問題的基本方法是單純形法，已有單純形法的標準軟體，可在電子計算機上求解約束條件和決策變數數達 10000個以上的線性規劃問題。為了提高解題速度，又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解算法和各種多項式時間算法。對於只有兩個變數的簡單的線性規劃問題，也可採用圖解法求解。這種方法僅適用於只有兩個變數的線性規劃問題。它的特點是直觀而易於理解，但實用價值不大。通過圖解法求解可以理解線性規劃的一些基本概念。

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