T矩陣

T矩陣

T矩陣(T-matrix)是一類特殊的矩陣,可用於構作鮑默特-霍爾表,若G={g1,g2,…,gn}為加法可換群,X⊆G,M=(mij),當gj-gi∈X時mij=1,否則mij=0,則稱M是關於X的Ⅰ型關聯矩陣,若X可劃分為X=X1∪X2,使gj-gi∈X1時mij=1,gi-gj∈X2時mij=-1,gj-gi∉X時mij=0,則稱M為Ⅰ型(0,1,-1)矩陣,若M1,M2,M3,M4是n階可換群G上的4個(0,1,-1)矩陣,使對n個位置的每一個恰有一個Mi在此位置上元素不為零,且M1M1+M2M2+M3M3+M4M4=nIn,其中In為單位矩陣,則稱這4個矩陣為T矩陣,若存在t階T矩陣,則存在t階鮑默特-霍爾表BH[4t],許多已知的BH[4t]是從T矩陣得到的。

基本介紹

  • 中文名:T矩陣
  • 外文名:T-matrix
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:組合數學(組合設計理論)
  • 簡介:一類特殊的矩陣
基本介紹,

基本介紹

是長為n的(0,±1)-序列,若
(i)對1≤j≤n,
恰有一個為±1,其餘3個均為0,
(ii)對1≤j≤n-1,恆有
則稱
是一組不相交T-序列。簡稱T-序列(T-sequence)。
對上述T-序列
,設1≤i≤4,令Xi表示以Ai為第一行而生成的n階循環矩陣,則稱
為一組n階不相交循環T-矩陣,簡稱循環T-矩陣
用T-矩陣構造Baumert-Hall陣列
引理1
為n階循環T-矩陣。則
(i)1≤i,j≤4,i≠j,則Xi與Xj不相交,即
(ii)
是一個(1,-1)-矩陣;
(iii)
(iv)對1≤i≤4,Xi的各行和都相等,設Xi的行和為ni,則
下述定理給出構作Baumert-Hall陣列的一個強有力方法。
定理1(Cooper,J.Wallis) 設
為n階循環T-矩陣,a,b,c,d為交換變元,令
再設R為下述n×n矩陣:
T矩陣
式(7)
將式(6)與式(7)代入下述Goethal-Seidel陣列
T矩陣
式(8)
則得到一個OD(4n;n,n,n,n)。
在上述定理中,若取a=b=c=d=1,則得到一個4n階H-陣,於是得到下述結果。
定理2若存在一組長為n的T-序列。則存在4n階H-陣。
由定理1與定理2可見T-序列在構作Baumert-Hall陣列和Hadamard矩陣時所起的重要作用。一般來說,尋求長為n的T-序列並不容易。由引理1之(iv)可知。設
是一組長為n的T-序列,又設Ai中所有元素的和為ni,1≤i≤4,則必有
這一觀察有助於尋找T-序列。由Lagrange四平方和定理,任一正整數n都能表為4個非負整數的平方和,但是否對每一個正整數n都存在長為n的T-序列?這是一個尚未解決的問題,從對構作Hadamard矩陣的套用而言,我們主要關心n為奇數時T-序列的存在性。
猜想1 設n≥1為奇數,則存在長為n的T-序列。
若上述猜想成立,則作為其推論,Hadamard猜想也就得到證明。
定理3若4n≤200,則4n階H-陣存在。

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