radon變換

數學上，是一種積分變換，這個變換將二維平面函式F變換成一個定義在二維空間上的一個線性函式RF(RF的意思是對F 做radon變換)，而RF 的值為函式F對該條線RF做積分的值。以概述圖(左圖)為例，黃色區域即是F，A線則是代表RF。

radon變換是在公元1917年提出，他也同時提出radon變換的反變換公式，以及三次空間的radon變換公式。 而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的radon變換被提出。 在複數上有和radon變換相似的penrose變換，radon變換被廣泛的套用在斷層掃描，radon反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函式。

基本介紹

• 中文名：radon變換
• 外文名：Radon transform
• 對應：原始函式的某個線積分值
• 含有：直線成分
• 按照：合適的角度

簡介

若函式F表示一個未知的密度，對F做radon變換，相當於得到F投影后的訊號，舉例來說：F相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過radon變換的F。 因此，可以用radon反變換從投影后的密度函式，重建原始的密度函式，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

radon變換後的訊號稱作“正弦圖”，因為一個偏離中心的點的radon變換是一個正弦曲線。所以對一些小點的radon變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函式重疊在一起。

定義

令密度函式f(X)=f(x,y)是一個的定義域為R²的緊緻台(compact support)。令R為radon變換的運運算元，則Rf(x,y)是一個定義在R²空間中的直線L，它的定義如下：

套用

radon變換可以套用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、蛋白質複合體，而且也是雙曲線偏微分方程的解。