論文由北京師範大學陳迪榮著，孫永生教授指導，主體共分三章，分別為周期函式類的n-寬度、實軸上某些光滑函式類的平均n-寬度與最優插值、Landau問題與(子)微分運算元的最優恢復。設r∈Z，定義L〓={f\f，f〓∈L〓，f〓在R上局部絕對連續}仍設P〓(t)僅有實零點，P〓(t)是P〓(t)的因子。
基本信息,詳細摘要,
基本信息
論文作者：陳迪榮著
導師：孫永生教授指導
學科專業：基礎數學
學位級別：d 1992n
學位授予單位：北京師範大學
學位授予時間：1992
關鍵字：周期函式 最優恢復
館藏號：O174.23
唯一標識符：108.ndlc.2.1100009031010001/T3F24.012002638009
館藏目錄：1999\O174.23\1
詳細摘要
Ⅰ.周期函式類的n-寬度。設G是B-核，〓由§0.1定義，任給p，q∈(1，∞)，n∈Z〓，考慮極值問題：λ〓(p，q，G)=sup{‖G*h‖〓|h∈D〓}，其中D〓={h|h(x+1/n)=-h(x)，h(x)≥0，〓x∈|0，1|n，‖h‖〓≤1).集合D〓由Li〓首先引入，但是由於我們的需要，這裡的定義與[22]稍有不同。
有關B-核的結果如下(雖然我們只對B-核陳述定理，但它們對NCVD核亦成立)：
定理1.設G是B-核，p，q∈(1，∞)，n∈=Z〓，那么至少存在一個連續函式h〓∈D〓滿足：
(1)‖G*h‖〓=λ〓=λ〓(p，q，G)=λ〓‖h〓‖〓，(2)〓(3)存在ε〓∈{-1，1}，α〓∈|0，1|n)使得ε〓(G*h〓)(x)sin/n(x-α〓)/≥0，〓x∈[1，2]
定理2.在定理1的條件下，對某個滿足定理1的連續函式h〓∈D〓成立：
(1)任給f∈〓，存在唯一的S〓(f)∈W〓在點上插值於，{α〓+i/n}〓上插值於f，其中α〓是G*h〓在|0，1|n)的零點，W〓由§0.1給出。(2)sup{‖f-S〓(f)‖〓|f∈〓}=λ〓，q≤p。
定理3.分別用d〓，d〓，δ〓和b〓表示Kolmogorov，Gelfand，線性和Bernstein n-寬度(見[53])，那么對p∈(1，∞)，〓而且，(i)W〓是d〓的極子空間，(ii)L〓：-{f|f∈〓，f(i/n)-0，i-0，…，2n-1}是d〓的極子空間，(iii)定理2給出的線性運算元S〓是δ〓的秩為2n的最優運算元。
在§1.4考慮周期Sobolev類〓(P，(D))的n-寬度問題。先介紹一些記號。設〓其中3μ(P〓)+s=r，α〓，α〓∈R，b〓∈〓。令h(P〓)-max{b〓}〓。我們稱〓 (0.2)為對應於微分運算元P〓(D)的周期Bernoulli核。樣條子空間〓(P〓(D)是下述函式之全體：S(x)-F(x)+〓c〓G〓(x-h/n), (0.3)；F∈E(G〓)，〓c〓σ(x-k/n)∈E⊥(G〓)，其中E⊥(G〓)是E(G〓)在L〓中正交補，δ(·)是周期為2的Dirac函式，而E(G〓)是下述實子空間E(Gr)=span{coskx，sinkx|P〓(ikπ)=0，k∈Z}。
有關B-核的結果如下(雖然我們只對B-核陳述定理，但它們對NCVD核亦成立)：
定理1.設G是B-核，p，q∈(1，∞)，n∈=Z〓，那么至少存在一個連續函式h〓∈D〓滿足：
(1)‖G*h‖〓=λ〓=λ〓(p，q，G)=λ〓‖h〓‖〓，(2)〓(3)存在ε〓∈{-1，1}，α〓∈|0，1|n)使得ε〓(G*h〓)(x)sin/n(x-α〓)/≥0，〓x∈[1，2]
定理2.在定理1的條件下，對某個滿足定理1的連續函式h〓∈D〓成立：
(1)任給f∈〓，存在唯一的S〓(f)∈W〓在點上插值於，{α〓+i/n}〓上插值於f，其中α〓是G*h〓在|0，1|n)的零點，W〓由§0.1給出。(2)sup{‖f-S〓(f)‖〓|f∈〓}=λ〓，q≤p。
定理3.分別用d〓，d〓，δ〓和b〓表示Kolmogorov，Gelfand，線性和Bernstein n-寬度(見[53])，那么對p∈(1，∞)，〓而且，(i)W〓是d〓的極子空間，(ii)L〓：-{f|f∈〓，f(i/n)-0，i-0，…，2n-1}是d〓的極子空間，(iii)定理2給出的線性運算元S〓是δ〓的秩為2n的最優運算元。
在§1.4考慮周期Sobolev類〓(P，(D))的n-寬度問題。先介紹一些記號。設〓其中3μ(P〓)+s=r，α〓，α〓∈R，b〓∈〓。令h(P〓)-max{b〓}〓。我們稱〓 (0.2)為對應於微分運算元P〓(D)的周期Bernoulli核。樣條子空間〓(P〓(D)是下述函式之全體：S(x)-F(x)+〓c〓G〓(x-h/n), (0.3)；F∈E(G〓)，〓c〓σ(x-k/n)∈E⊥(G〓)，其中E⊥(G〓)是E(G〓)在L〓中正交補，δ(·)是周期為2的Dirac函式，而E(G〓)是下述實子空間E(Gr)=span{coskx，sinkx|P〓(ikπ)=0，k∈Z}。
在§1.4得到了前面所有的結論，只是要求n大於某個定數。下面只敘述關於n-寬度的結果。
定義1〓，設A〓L〓(R)是線性子空間。若存在ε〓>0，使得對一切ε∈(0，ε〓)〓=n<∞， 其中n與ε無關，則稱A(在L〓中)是平均維數有限的，記為〓A-n。注意n不必為自然數。
定義2〓。F〓L〓關於零點對稱(s∈F〓-f∈F)的子集，稱〓為F在L〓中的Kolmogorov意義下的平均n-寬度，若線性子空間A〓滿足〓A〓≤n和E(F，A〓，L〓)=〓(F，L〓),則A〓是〓(F，L〓)的極子空間。類似於線性n-寬度，我們可以給出
定義3.設F〓L〓關於零點對稱，F的線性平均n-寬度定義為
〓其中infimun是對一切L〓到L〓的有界線性運算元且其平均秩為n，所謂T的平均秩n指的是〓 rang(T)-n。如果某個線性有界運算元T〓滿足〓(F，L〓)=sup{‖f-T〓f‖〓|f∈F}且T〓的平均秩不超過n，則稱T〓是〓的最優運算元。下面是最優恢復理論的一些基本概念，可參見[36]和[54]。設X是線性子空間，Y和Z線性賦范空間，K是X的子集，S和U是X分別到Y和Z的映射，我們的目的是利用Sx來逼近Ux，x∈K，而每個x∈K，信息有允許誤差ε≥0，也就是說任何滿〓足‖y-Sx‖〓≤ε的y∈Y都可以看成是x∈K的信息，任何一個映射A：〓(K)+εY°→Z(見圖)，其中A°是Y的單位球。由算法A產生誤差E〓(K，U，S，ε)=〓稱E(K，U，S，ε)=〓 E〓(K，U，S，ε) (0.7)為本性誤差，若算法A〓滿足K(K，U，S，ε)=E〓(K，U，S，ε)，稱A〓是最優算法。在上述最優恢復問題中，K稱為問題元集，U和S分別是解運算元和信息運算元。若〓={S}是一族信息運算元，我們稱E(K，U，ε)=inf{E(K，U，S，ε)|S∈〓} (0.8)為最小本性誤差，如果存在S〓∈F以及映射A〓滿足E(K，U，)=E〓(K，U，S，ε)，則分別稱S〓和A〓是最優信息運算元和最優算法。當ε=0時，我們略去上述所有記號中的ε。第二章的問題元集為K=B〓(P〓(D))或S〓(G)信息運算元族為〓={S〓}〓其中T={t〓}〓為雙向實序列，S〓f={f(t〓)}〓，而〓是滿足下述條件的T={t〓}〓的全體：(1)〓 (0.9)，(2)〓其中card A表示集合A中元素的個數。設n∈R〓(n不必是整數)，記G〓是對應於P〓(nD)的周期Bernoulli核函式。顯然n=1時，G〓=G〓。
定理4 設n>N(P〓)：=(3h(P〓)(2μ(P〓)-1}π〓，p∈(1，∞)。那么〓λ〓由(0.1)定義，而且(i) 〓(P〓(D))是d〓的極子空間，(ii)L〓：={f/f∈〓(P〓(D))，f(i/n)=0，i=0，…，2n-1}是d〓的極子空間，(iii)類似於定理3，對每個f∈(P〓(D))，存在唯一的〓(f)∈〓(P〓(D)在2n個等距結點上插值於f，而且s〓是δ〓的最優運算元。Ⅱ.實軸上某些光滑函式類的平均n-寬度與最優插值。我們考慮的函式類有二個，一個是Sobolev類：B〓(P〓(D))={f|f〓在R上局部絕對連續，f，f〓∈L〓，‖P〓(D)f‖〓≤1}， (0.4)其中P〓(t)僅有實零點，L〓=L〓(R)，‖·‖〓=‖·‖〓.另一個是以PF密度G為核的卷積類，S〓(G)={ G*h|‖h‖〓≤1}. (0.5)注意第二章的卷積與第一章的不一樣，即(G*h)(x)〓G(x-t)h(t)dt.周知(見[14])，G是PF密度(記為G∈PF)若且唯若存在整函式，P(z)=e〓(1-z/α〓)c〓 (0.6)，c≥0，b，a〓∈R，0<c+∑a〓<∞使得，G(x) =〓du若P(x)=a〓(1-x/a〓)，則S〓(G)=B〓(P〓(D))(見[14])，其中(〓f(x)=f(x+b)，下面給出一些定義，設A〓L〓(R)是線性子空間，記A°{x∈A|‖x‖〓≤1}，給定o，ε>0，置K(A，α，ε)=min{dmL|L是L〓[-a，a]的線性子空間，E(A°|〓，L，L〓[-a，a])≤ε}。其中A°|〓，是A°的元素在[-a，a]的限制之全體。
定義1〓，設A〓L〓(R)是線性子空間。若存在ε〓>0，使得對一切ε∈(0，ε〓)〓=n<∞， 其中n與ε無關，則稱A(在L〓中)是平均維數有限的，記為〓A-n。注意n不必為自然數。
定義2〓。F〓L〓關於零點對稱(s∈F〓-f∈F)的子集，稱〓為F在L〓中的Kolmogorov意義下的平均n-寬度，若線性子空間A〓滿足〓A〓≤n和E(F，A〓，L〓)=〓(F，L〓),則A〓是〓(F，L〓)的極子空間。類似於線性n-寬度，我們可以給出
定義3.設F〓L〓關於零點對稱，F的線性平均n-寬度定義為
〓其中infimun是對一切L〓到L〓的有界線性運算元且其平均秩為n，所謂T的平均秩n指的是〓 rang(T)-n。如果某個線性有界運算元T〓滿足〓(F，L〓)=sup{‖f-T〓f‖〓|f∈F}且T〓的平均秩不超過n，則稱T〓是〓的最優運算元。下面是最優恢復理論的一些基本概念，可參見[36]和[54]。設X是線性子空間，Y和Z線性賦范空間，K是X的子集，S和U是X分別到Y和Z的映射，我們的目的是利用Sx來逼近Ux，x∈K，而每個x∈K，信息有允許誤差ε≥0，也就是說任何滿〓足‖y-Sx‖〓≤ε的y∈Y都可以看成是x∈K的信息，任何一個映射A：〓(K)+εY°→Z(見圖)，其中A°是Y的單位球。由算法A產生誤差E〓(K，U，S，ε)=〓稱E(K，U，S，ε)=〓 E〓(K，U，S，ε) (0.7)為本性誤差，若算法A〓滿足K(K，U，S，ε)=E〓(K，U，S，ε)，稱A〓是最優算法。在上述最優恢復問題中，K稱為問題元集，U和S分別是解運算元和信息運算元。若〓={S}是一族信息運算元，我們稱E(K，U，ε)=inf{E(K，U，S，ε)|S∈〓} (0.8)為最小本性誤差，如果存在S〓∈F以及映射A〓滿足E(K，U，)=E〓(K，U，S，ε)，則分別稱S〓和A〓是最優信息運算元和最優算法。當ε=0時，我們略去上述所有記號中的ε。第二章的問題元集為K=B〓(P〓(D))或S〓(G)信息運算元族為〓={S〓}〓其中T={t〓}〓為雙向實序列，S〓f={f(t〓)}〓，而〓是滿足下述條件的T={t〓}〓的全體：(1)〓 (0.9)，(2)〓其中card A表示集合A中元素的個數。設n∈R〓(n不必是整數)，記G〓是對應於P〓(nD)的周期Bernoulli核函式。顯然n=1時，G〓=G〓。
定理4 設n>N(P〓)：=(3h(P〓)(2μ(P〓)-1}π〓，p∈(1，∞)。那么〓λ〓由(0.1)定義，而且(i) 〓(P〓(D))是d〓的極子空間，(ii)L〓：={f/f∈〓(P〓(D))，f(i/n)=0，i=0，…，2n-1}是d〓的極子空間，(iii)類似於定理3，對每個f∈(P〓(D))，存在唯一的〓(f)∈〓(P〓(D)在2n個等距結點上插值於f，而且s〓是δ〓的最優運算元。Ⅱ.實軸上某些光滑函式類的平均n-寬度與最優插值。我們考慮的函式類有二個，一個是Sobolev類：B〓(P〓(D))={f|f〓在R上局部絕對連續，f，f〓∈L〓，‖P〓(D)f‖〓≤1}， (0.4)其中P〓(t)僅有實零點，L〓=L〓(R)，‖·‖〓=‖·‖〓.另一個是以PF密度G為核的卷積類，S〓(G)={ G*h|‖h‖〓≤1}. (0.5)注意第二章的卷積與第一章的不一樣，即(G*h)(x)〓G(x-t)h(t)dt.周知(見[14])，G是PF密度(記為G∈PF)若且唯若存在整函式，P(z)=e〓(1-z/α〓)c〓 (0.6)，c≥0，b，a〓∈R，0<c+∑a〓<∞使得，G(x) =〓du若P(x)=a〓(1-x/a〓)，則S〓(G)=B〓(P〓(D))(見[14])，其中(〓f(x)=f(x+b)，下面給出一些定義，設A〓L〓(R)是線性子空間，記A°{x∈A|‖x‖〓≤1}，給定o，ε>0，置K(A，α，ε)=min{dmL|L是L〓[-a，a]的線性子空間，E(A°|〓，L，L〓[-a，a])≤ε}。其中A°|〓，是A°的元素在[-a，a]的限制之全體。
定理5.設n∈R〓，f∈B〓(P〓(D))。存在唯一冪增長的s〓(f)∈S〓(P〓(D))在點{α〓+i/n}〓插值於f，其中α〓由p和P〓(nD)確定，而〓 (0.10)而且成立sup{‖f-s〓(f)‖〓|f∈B〓(P〓(D)))=λ〓(p，p，G〓)。
定理6.(平均n-寬度)設n∈R〓，p∈[1，∞]。那么，〓而且，(i)S〓(P〓(D))∩L〓是〓的板子空間，(ii)定理5給出的〓是〓的最優算法。
定理7.(最優插值)設在(0.8)中置X=Z=L〓，Y=L〓(R〓)，F={S〓)〓。那么對p∈(1，∞)，以及解運算元Uf=f為恆等運算元，我們有E(B〓(P〓(D))，U)=λ〓(p，p，G〓)。S〓f={f(α〓+i)}〓和s〓是最優信息運算元和最優算法，其中a〓和s〓由定理5給出。設P〓(t)是P〓(i)的因子，稱P〓(D)是P〓(D)的子微分運算元，記〓(t)=P〓(t)|P〓(t)。
定理8.(子微分運算元的最優恢復)在定理7中設p=2，解運算元Uf=P〓(D))f.那么〓而S〓f={f(i)}〓是最優信息運算元。設Si(f)是在點{i}〓對應於P〓(D)的唯一冪增長的自然插值樣條運算元，則P〓(D)Si是最優算法。設G是PF密度，那么〓(x)=〓G(x+2h)是NCVD核〓，因此§1.2和§1.3的結論對〓均成立，我們定義λ〓(p，q，G)=λ〓(p，q，〓)，後者由(0.1)給出。給定G為PF密度，由[27]和[51]知道，存在唯一的y〓∈[0，1)，使得對任何x〓∈[0，1)|{y〓}，都有如下形式的基本函式L(x)=〓G (x-k)滿足L(x〓+k)=δ〓，k∈Z，|L(x)|≤Ae〓，x∈R，A，B>0為常數。於是對任何f=G*h，h∈L〓，s(f，x)=〓f(x〓+k)L(x-k) (0.11)在R上一致收斂。
定理9.(插值餘項表達式)設G為PF密度，那么任給f=G*h，h∈L〓都有f(x)-s1(f，x)=∫〓B(x〓，x，t)h(t)dt，x〓∈[0，1]|{y〓}其中s(f，x)=s(f)由(0.11)給出，而 B(x〓，x，t)=G(x-t)-〓G(x〓，k-t)L(x-k)。特別地，若x〓是[G*sgnsin(πt)](x)在[0，1)中的零點，則有ε=-1或1使得〓x，t∈〓，εB(x〓，x，t)sin(πt)sinπ(x-x〓)≥0.
定理10.設G為PF密度，則存在α〓∈[0，1)/{y〓}，使得sup{‖f-s(f)‖〓|f∈S〓(G)}=λ〓(p，p，G)，p∈(1，∞)，這裡s(f)是由(0，11)以α〓代替x〓而定義。
定理11.設在(0，8)中，X=Z=L〓(R)，Y=l〓(R〓)。解運算元Uf=f，信息運算元族為F={S〓)〓∈H。那么E (S〓(G)，U)=|P(iπ)|〓，i=〓，P(z)由(0.6)給出，而且S〓f={f(α〓+j)}〓和s(f)是最優信息運算元和最優算法，α〓和s〓(f)都由定理10給出。
定理12.G為PF密度，則對p ∈[1，∞]〓而且(i)記S〓(G)是span{G(x-k))〓在L〓中的閉包，則S〓(G)是〓的極子空間；B〓是〓(S〓(G)，L〓)的極子空間，其中B〓是滿足suppf〓[-π，π]，f∈L〓的f之全體，f〓是的Fourier變換。(ii)S(f)是〓的最優運算元。定理12的證明難點在於驗證〓S〓(G)=1,為此，我們構造了S〓(G)的一組正交Schauder基{φ(x-k)}〓。這一點本身也是有意義的。對於n∈R〓，通過變數伸縮，可以把S〓(G)的平均n-寬度問題轉化為S〓(G(./n)/n)的平均1-寬度，注意若G是PF密度，則G(./n)/n亦然，因此可由定理11解決一般的平均n-寬度問題。推論.設n∈R+，G為PF密度，則〓Ⅲ Landau問題與(子)微分運算元的最優恢復。設r∈Z，定義L〓={f\f，f〓∈L〓，f〓在R上局部絕對連續}仍設P〓(t)僅有實零點，P〓(t)是P〓(t)的因子。Stechkin問題：考慮用範數不超過定數N的線性運算元T：L〓→L〓來逼近P〓(D)在B〓(P〓(D))上的最小誤差。〓 (0.12)構造實現E(N)的最優運算元T〓，即E(N)=sup{‖P〓(D)f-T〓f‖〓|f∈B〓(P〓(D))}， (0.13)上述問題在P〓(D)=D〓時由[45]解決，關於Stechkin問的一提法和結果可見[2]，[3]，[43]和[45]。設〓是f的Fourier變換，g∈L〓。我們可以如下定義運算元T：(L〓→L〓)(Tf)(x)=〓∫〓g(t)f〓(t)e〓sgnP〓(it)dt， (0.14).
定理13.(關於線性微分運算元的Hardy-Littliwood-Polya不等式)設f∈L〓,‖f‖〓≠0，則〓 (0.15)其中φ〓(t)=|P〓(it)|，j=k，r。不等式(0.15)在下述意義下精確：〓ε>0，〓f∈L〓使得〓定理14.記t〓=|P〓(0)|〓(可能為∞)。則E(N)=sup{Q(t)-Nt|t∈[0，t〓)}其中Q(t)=〓，H〓(t)，〓(x)=|〓(it)|〓，H〓(x)=(x)|P〓(ix)|〓t=H〓(x)，而且若我們令g為〓則由(0.14)給出的T是E(N)的最優算法。
定理15.(子微分運算元的最優恢度)在(0.7)中置X=Y=Y=L〓，K=γB〓(P〓(D))，γ>0。解運算元Uf=P〓(D)f，信息運算元Sf=f。那么(1)若P〓(0)=P〓(0)=0或ε'：=εγ<[φ〓(0)]〓，則E(K，P〓(D)，S，ε)=γ[〓]，其中〓(x)=|〓(ix)|,λ'由λ'=φ〓(ε〓γ)唯一確定選取N滿足sup{Q(t)-Nt|t∈[0，t〓)}=Q(ε')-Nε'(由[53]，N是存在的)，那么由定理14給出的T是最優線性算法；(2)若ε'≥[φ〓(0)]〓，則E(K，P〓(D)，S，ε)=λ[φ〓(0)]〓，T=0是最優算法。在第三章還建立了S〓(G)上的Kolomogorov比較定理，其中G是PF是密度。給定λ>0，稱〓是S〓(G)上以2π/λ為周期的標準函式。下述引理是重要的。引理.設G是PF密度，x〓是φ〓在[0，π/λ)中的一個極值點，那么φ'〓(x)(=d/dxΦλ(x)在[0，2π/λ)上恰有二個零點x〓，x〓+π/λ，且都是簡單零點。
定理16.(Kolmogorov比較定理)設G是PF密度，若f=G*∈S〓(G)滿足(1)‖f‖〓≤‖Φ〓‖〓(2)存在a，b，c使得Φ〓(a)=Φ〓(b)=f(c)，其中a和b分別屬於Φ〓(x)的一對相鄰單調區間，那么|f'(c)|≤max{|Φ'〓(a)|，|Φ'〓(b)|}定理17.(Uf=f'(0)的最優恢復)設在(0.7)中X=Y=C(R)(C(R)表示R上有界且一致連續函式之全體)，Z=R，K=γS〓(G)，γ>0，Uf=f'(0)，Sf=f，那么(1)若ε'：=γ〓ε<1，則E(K，U，S，ε)=γ‖φ'〓‖∞，其中λ'由‖φ〓‖〓=ε'唯一確定。而且存線上性有界泛函T〓=〓c〓g(t〓+kπ/λ')，g∈C(R)是最優算法，其中t〓∈R，∑|c〓|<∞。(2)若ε'≥1，則E(K，U，S，ε)=γ∫〓|G'(t))|dt。T=0是最優算法
定理7.(最優插值)設在(0.8)中置X=Z=L〓，Y=L〓(R〓)，F={S〓)〓。那么對p∈(1，∞)，以及解運算元Uf=f為恆等運算元，我們有E(B〓(P〓(D))，U)=λ〓(p，p，G〓)。S〓f={f(α〓+i)}〓和s〓是最優信息運算元和最優算法，其中a〓和s〓由定理5給出。設P〓(t)是P〓(i)的因子，稱P〓(D)是P〓(D)的子微分運算元，記〓(t)=P〓(t)|P〓(t)。
定理8.(子微分運算元的最優恢復)在定理7中設p=2，解運算元Uf=P〓(D))f.那么〓而S〓f={f(i)}〓是最優信息運算元。設Si(f)是在點{i}〓對應於P〓(D)的唯一冪增長的自然插值樣條運算元，則P〓(D)Si是最優算法。設G是PF密度，那么〓(x)=〓G(x+2h)是NCVD核〓，因此§1.2和§1.3的結論對〓均成立，我們定義λ〓(p，q，G)=λ〓(p，q，〓)，後者由(0.1)給出。給定G為PF密度，由[27]和[51]知道，存在唯一的y〓∈[0，1)，使得對任何x〓∈[0，1)|{y〓}，都有如下形式的基本函式L(x)=〓G (x-k)滿足L(x〓+k)=δ〓，k∈Z，|L(x)|≤Ae〓，x∈R，A，B>0為常數。於是對任何f=G*h，h∈L〓，s(f，x)=〓f(x〓+k)L(x-k) (0.11)在R上一致收斂。
定理9.(插值餘項表達式)設G為PF密度，那么任給f=G*h，h∈L〓都有f(x)-s1(f，x)=∫〓B(x〓，x，t)h(t)dt，x〓∈[0，1]|{y〓}其中s(f，x)=s(f)由(0.11)給出，而 B(x〓，x，t)=G(x-t)-〓G(x〓，k-t)L(x-k)。特別地，若x〓是[G*sgnsin(πt)](x)在[0，1)中的零點，則有ε=-1或1使得〓x，t∈〓，εB(x〓，x，t)sin(πt)sinπ(x-x〓)≥0.
定理10.設G為PF密度，則存在α〓∈[0，1)/{y〓}，使得sup{‖f-s(f)‖〓|f∈S〓(G)}=λ〓(p，p，G)，p∈(1，∞)，這裡s(f)是由(0，11)以α〓代替x〓而定義。
定理11.設在(0，8)中，X=Z=L〓(R)，Y=l〓(R〓)。解運算元Uf=f，信息運算元族為F={S〓)〓∈H。那么E (S〓(G)，U)=|P(iπ)|〓，i=〓，P(z)由(0.6)給出，而且S〓f={f(α〓+j)}〓和s(f)是最優信息運算元和最優算法，α〓和s〓(f)都由定理10給出。
定理12.G為PF密度，則對p ∈[1，∞]〓而且(i)記S〓(G)是span{G(x-k))〓在L〓中的閉包，則S〓(G)是〓的極子空間；B〓是〓(S〓(G)，L〓)的極子空間，其中B〓是滿足suppf〓[-π，π]，f∈L〓的f之全體，f〓是的Fourier變換。(ii)S(f)是〓的最優運算元。定理12的證明難點在於驗證〓S〓(G)=1,為此，我們構造了S〓(G)的一組正交Schauder基{φ(x-k)}〓。這一點本身也是有意義的。對於n∈R〓，通過變數伸縮，可以把S〓(G)的平均n-寬度問題轉化為S〓(G(./n)/n)的平均1-寬度，注意若G是PF密度，則G(./n)/n亦然，因此可由定理11解決一般的平均n-寬度問題。推論.設n∈R+，G為PF密度，則〓Ⅲ Landau問題與(子)微分運算元的最優恢復。設r∈Z，定義L〓={f\f，f〓∈L〓，f〓在R上局部絕對連續}仍設P〓(t)僅有實零點，P〓(t)是P〓(t)的因子。Stechkin問題：考慮用範數不超過定數N的線性運算元T：L〓→L〓來逼近P〓(D)在B〓(P〓(D))上的最小誤差。〓 (0.12)構造實現E(N)的最優運算元T〓，即E(N)=sup{‖P〓(D)f-T〓f‖〓|f∈B〓(P〓(D))}， (0.13)上述問題在P〓(D)=D〓時由[45]解決，關於Stechkin問的一提法和結果可見[2]，[3]，[43]和[45]。設〓是f的Fourier變換，g∈L〓。我們可以如下定義運算元T：(L〓→L〓)(Tf)(x)=〓∫〓g(t)f〓(t)e〓sgnP〓(it)dt， (0.14).
定理13.(關於線性微分運算元的Hardy-Littliwood-Polya不等式)設f∈L〓,‖f‖〓≠0，則〓 (0.15)其中φ〓(t)=|P〓(it)|，j=k，r。不等式(0.15)在下述意義下精確：〓ε>0，〓f∈L〓使得〓定理14.記t〓=|P〓(0)|〓(可能為∞)。則E(N)=sup{Q(t)-Nt|t∈[0，t〓)}其中Q(t)=〓，H〓(t)，〓(x)=|〓(it)|〓，H〓(x)=(x)|P〓(ix)|〓t=H〓(x)，而且若我們令g為〓則由(0.14)給出的T是E(N)的最優算法。
定理15.(子微分運算元的最優恢度)在(0.7)中置X=Y=Y=L〓，K=γB〓(P〓(D))，γ>0。解運算元Uf=P〓(D)f，信息運算元Sf=f。那么(1)若P〓(0)=P〓(0)=0或ε'：=εγ<[φ〓(0)]〓，則E(K，P〓(D)，S，ε)=γ[〓]，其中〓(x)=|〓(ix)|,λ'由λ'=φ〓(ε〓γ)唯一確定選取N滿足sup{Q(t)-Nt|t∈[0，t〓)}=Q(ε')-Nε'(由[53]，N是存在的)，那么由定理14給出的T是最優線性算法；(2)若ε'≥[φ〓(0)]〓，則E(K，P〓(D)，S，ε)=λ[φ〓(0)]〓，T=0是最優算法。在第三章還建立了S〓(G)上的Kolomogorov比較定理，其中G是PF是密度。給定λ>0，稱〓是S〓(G)上以2π/λ為周期的標準函式。下述引理是重要的。引理.設G是PF密度，x〓是φ〓在[0，π/λ)中的一個極值點，那么φ'〓(x)(=d/dxΦλ(x)在[0，2π/λ)上恰有二個零點x〓，x〓+π/λ，且都是簡單零點。
定理16.(Kolmogorov比較定理)設G是PF密度，若f=G*∈S〓(G)滿足(1)‖f‖〓≤‖Φ〓‖〓(2)存在a，b，c使得Φ〓(a)=Φ〓(b)=f(c)，其中a和b分別屬於Φ〓(x)的一對相鄰單調區間，那么|f'(c)|≤max{|Φ'〓(a)|，|Φ'〓(b)|}定理17.(Uf=f'(0)的最優恢復)設在(0.7)中X=Y=C(R)(C(R)表示R上有界且一致連續函式之全體)，Z=R，K=γS〓(G)，γ>0，Uf=f'(0)，Sf=f，那么(1)若ε'：=γ〓ε<1，則E(K，U，S，ε)=γ‖φ'〓‖∞，其中λ'由‖φ〓‖〓=ε'唯一確定。而且存線上性有界泛函T〓=〓c〓g(t〓+kπ/λ')，g∈C(R)是最優算法，其中t〓∈R，∑|c〓|<∞。(2)若ε'≥1，則E(K，U，S，ε)=γ∫〓|G'(t))|dt。T=0是最優算法
