Mahler猜想及相關問題

《Mahler猜想及相關問題》是依託上海大學，由冷崗松擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：Mahler猜想及相關問題
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：冷崗松
• 依託單位：上海大學

中文摘要

凸幾何分析是20世紀80年代在經典Brunn-Minkowski理論的基礎上發展起來的幾何學與泛函分析相結合的一個交叉學科。 Mahler猜想是凸幾何分析中的一個重要的未解決問題。 Mahler猜想可以表述為：（1）在中心對稱的凸體中，立方體具有最小的Mahler體積；（2）在非中心對稱的凸體中，單純形具有最小的Mahler體積。本項目的主要研究內容包括：三維空間中心對稱凸體的Mahler猜想；特殊凸體類（關於一個坐標平面對稱的凸體、平行截面體、旋轉體、最多十個頂點的多胞形）上的Mahler猜想；Mahler猜想的函式形式及相關分析不等式；凸體極體的極值性質。在研究過程中，我們將把幾何方法和現代分析工具（Fourier變換、球面調和、局部漸進理論等）結合起來，力爭創造一些新的研究方法，以加深我們對凸體和空間的對偶性認識，推動Mahler猜想的研究。

結題摘要

已完成的項目主要研究凸體的 Mahler 猜想及相關問題，在凸體的體積、表面積、賦值、Orlicz Brunn-Minkowski 理論、仿射等周不等式等研究中取得了較為豐富的研究成果。具體為：證明了連續、反變的 Lp Blaschke 賦值一定為Lp曲率像運算元，並證明三維空間中的連續、協變的 Lp Blaschke 賦值是不存在的，二維空間中的連續、協變的 Lp Blaschke 賦值是 Lp 曲率像運算元的90 度旋轉；運用 Steiner 對稱的技術建立了 Lp Mean Zonoid 的仿射等周不等式；給出了合理的 Orlicz 加法的定義，建立了Orlicz Brunn-Minkowski 不等式，給出了Orlicz 混合體積的定義並且證明了定義的合理性與積分表達式；解決了以色列數學家 S.Dar 提出的關於加強版的 Brunn-Minkowski 不等式的猜想的二維版本，給出了二維Dar 猜測等號成立的充分必要條件，並發現了Dar 猜想與對數Brunn-Minkowski不等式的聯繫，從而回答了 G.Zhang 的一個公開問題；給出了 Orlicz 賦值的一個分類並證明了 Orlicz 投影體運算元和 Orlicz 差體運算元不是 Orlicz 賦值。