MV-代數

在純數學分支抽象代數中，MV-代數（多值代數）是帶有二元運算 、一元運算和常量的滿足特定公理的代數結構。多值邏輯是 MV-代數的模型。

基本介紹

• 中文名：MV-代數
• 別稱：多值代數
• 分類：格理論、半群論
• 領域：數理科學

定義

設 A 是個集合，MV-代數是代數結構，帶有型的標識(signature) ，它滿足如下恆等式：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

備註：通過前三個公理是交換么半群。

或者作為替代，MV-代數是一個剩餘格滿足額外恆等式：

Hájek (1998)描述了這兩個公式的等同。

例子

一個簡單的例子是，帶有定義為和的運算。

討論

在多值邏輯中，給定一個 MV-代數 A，一個 A-賦值就是從命題演算中公式的集合到 MV-代數的函式。如果對於所有 A-賦值這個函式把一個公式映射到 1（或 ），則這個公式是一個 A-重言式。因此對於無窮值邏輯（比如模糊邏輯、武卡謝維奇邏輯），我們設 [0,1] 是 A 的下層集合來獲得 [0,1]-賦值和 [0,1]-重言式（經常就叫做賦值和重言式）。

Chang 發明 MV-代數來研究波蘭數學家揚·武卡謝維奇（Jan Łukasiewicz）在 1920 年介入的多值邏輯。Chang 的完備定理(1958, 1959) 聲稱任何在 [0,1] 區間成立的 MV-代數等式也在所有 MV-代數中成立。通過這個定理，證明了無窮值的武卡謝維奇邏輯可以被 MV-代數所刻畫。後來同樣適用於模糊邏輯。這類似於在 {0,1} 成立的布爾代數等式在任何布爾代數中也成立，布爾代數因此刻畫了標準二值邏輯。