點集的三角剖分（Triangulation），對數值分析（比如有限元分析）以及圖形學來說，都是極為重要的一項預處理技術。尤其是Delaunay三角剖分，由於其獨特性，關於點集的很多種幾何圖都和Delaunay三角剖分相關，如Voronoi圖，EMST樹，Gabriel圖等。Delaunay三角剖分有最大化最小角，“最接近於規則化的“的三角網和唯一性（任意四點不能共圓）兩個特點。
基本介紹
- 中文名：Delaunay三角剖分算法
- 外文名：Delaunay triangulation algorithm
- 定義：數學公式
- 解析：對三角型的剖析
- 所屬學科：計算幾何
定義,準則特性,計算方法,
定義
【定義】三角剖分：假設V是二維實數域上的有限點集，邊e是由點集中的點作為端點構成的封閉線段, E為e的集合。那么該點集V的一個三角剖分T=(V,E)是一個平面圖G，該平面圖滿足條件：
1.除了端點，平面圖中的邊不包含點集中的任何點。
2.沒有相交邊。
3.平面圖中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集是散點集V的凸包。
在實際中運用的最多的三角剖分是Delaunay三角剖分，它是一種特殊的三角剖分。先從Delaunay邊說起：
【定義】Delaunay邊：假設E中的一條邊e（兩個端點為a,b），e若滿足下列條件，則稱之為Delaunay邊：存在一個圓經過a,b兩點，圓內(注意是圓內，圓上最多三點共圓)不含點集V中任何其他的點，這一特性又稱空圓特性。
【定義】Delaunay三角剖分：如果點集V的一個三角剖分T只包含Delaunay邊，那么該三角剖分稱為Delaunay三角剖分。
最佳化處理:
理論上為了構造Delaunay三角網，Lawson提出的局部最佳化過程LOP(Local Optimization Procedure)，一般三角網經過LOP處理，即可確保成為Delaunay三角網，其基本做法如下所示：
1.將兩個具有共同邊的三角形合成一個多邊形。
2.以最大空圓準則作檢查，看其第四個頂點是否在三角形的外接圓之內。
3.如果在，修正對角線即將對角線對調，即完成局部最佳化過程的處理。
LOP處理過程如下圖所示：
Delaunay剖分的算法
Delaunay剖分是一種三角剖分的標準，實現它有多種算法。
準則特性
準則:
要滿足Delaunay三角剖分的定義，必須符合兩個重要的準則：
1、空圓特性：Delaunay三角網是唯一的（任意四點不能共圓），在Delaunay三角形網中任一三角形的外接圓範圍內不會有其它點存在。如下圖所示：
2、最大化最小角特性：在散點集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形的最小角最大。從這個意義上講，Delaunay三角網是“最接近於規則化的“的三角網。具體的說是指在兩個相鄰的三角形構成凸四邊形的對角線，在相互交換後，六個內角的最小角不再增大。如下圖所示：
特性:
以下是Delaunay剖分所具備的優異特性：
1.最接近：以最近的三點形成三角形，且各線段(三角形的邊)皆不相交。
2.唯一性：不論從區域何處開始構建，最終都將得到一致的結果。
3.最優性：任意兩個相鄰三角形形成的凸四邊形的對角線如果可以互換的話，那么兩個三角形六個內角中最小的角度不會變大。
4.最規則：如果將三角網中的每個三角形的最小角進行升序排列，則Delaunay三角網的排列得到的數值最大。
5.區域性：新增、刪除、移動某一個頂點時只會影響臨近的三角形。
6.具有凸多邊形的外殼：三角網最外層的邊界形成一個凸多邊形的外殼。
計算方法
a)Lawson算法
逐點插入的Lawson算法是Lawson在1977年提出的，該算法思路簡單，易於編程實現。基本原理為：首先建立一個大的三角形或多邊形，把所有數據點包圍起來，向其中插入一點，該點與包含它的三角形三個頂點相連，形成三個新的三角形，然後逐個對它們進行空外接圓檢測，同時用Lawson設計的局部最佳化過程LOP進行最佳化，即通過交換對角線的方法來保證所形成的三角網為Delaunay三角網。
上述基於散點的構網算法理論嚴密、唯一性好，格線滿足空圓特性，較為理想。由其逐點插入的構網過程可知，遇到非Delaunay邊時，通過刪除調整，可以構造形成新的Delaunay邊。在完成構網後，增加新點時，無需對所有的點進行重新構網，只需對新點的影響三角形範圍進行局部聯網，且局部聯網的方法簡單易行。同樣，點的刪除、移動也可快速動態地進行。但在實際套用當中，這種構網算法當點集較大時構網速度也較慢，如果點集範圍是非凸區域或者存在內環，則會產生非法三角形。
如左圖所示：當離散點集構成圓環時，Lawson算法產生的非法三角形
b)Bowyer-Watson算法(推薦)
Watson算法的基本步驟是：
1、構造一個超級三角形，包含所有散點，放入三角形鍊表。
2、將點集中的散點依次插入，在三角形鍊表中找出外接圓包含插入點的三角形（稱為該點的影響三角形），刪除影響三角形的公共邊，將插入點同影響三角形的全部頂點連線起來，完成一個點在Delaunay三角形鍊表中的插入。
3、根據最佳化準則對局部新形成的三角形最佳化。將形成的三角形放入Delaunay三角形鍊表。
4、循環執行上述第2步，直到所有散點插入完畢。
這一算法的關鍵的第2步圖示如下：
