《Coxeter群的組合性質》是依託南開大學，由郭龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Coxeter群的組合性質
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：郭龍
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
Coxeter群上的組合學是代數組合領域中的重要研究內容之一。在本項目中，我們將研究Coxeter群的組合性質，主要包括：.1. Coxeter群的Kazhdan-Lusztig 多項式與R-多項式的計算。Kazhdan-Lusztig多項式與R-多項式是Coxeter群的Kazhdan-Lusztig理論中的核心研究對象，針對該課題我們擬探討這兩類多項式與經典的組合結構之間的聯繫，給出它們的組合計算法則。此外，我們將發掘新的組合技巧用於尋找具有封閉表達公式的Kazhdan-Lusztig與R-多項式。 .2. 與Coxeter群相關的超平面排列的組合性質。我們將重點研究A型與B型Coxeter群相關的超平面排列。我們的目標是建立此類超平面所劃分的連通區域與經典的組合結構（例如：樹、分拆、格路等）之間的聯繫，進而研究它們的組合計數性質。
結題摘要
Coxeter 群上的組合學是代數組合領域的重要研究內容之一。在本項目中，我們研究了幾個與Coxeter 群相關的結構的組合性質，取得的進展主要包括： （1）發現了Kazhdan-Lusztig R-多項式的反演公式的組合證明。R-多項式的反演公式是D. Kazhdan（哈佛大學教授、美國科學院院士）與G. Lusztig（MIT教授、美國科學院院院士、 2014年邵逸夫獎得主）在其創立著名的Kazhdan-Lusztig理論的過程中建立的，組合學家F. Brenti提出了尋求R-多項式反演公式的組合證明這一公開問題。我們通過構建 R-多項式反演公式的組合模型，完成了該反演公式的組合證明。 （2）研究了n-維超立方體的 n-維子多面體（即：0/1-多面體）在其對稱群（即：B-型Coxeter群）作用下的分類計數。該問題是由G.M. Ziegler（2002年國際數學家大會45分鐘報告邀請人）倡導研究，他認為這是離散幾何中非常具有挑戰性的問題。宗傳明教授在其發表在Bull. Amer. Math. Soc.的綜述文章中，也將其列為超立方方向的基本問題之一。此前，五維0/1-多面體是能夠徹底計數的極限。通過運用組合學與代數學的工具，我們給出了一個研究這個問題的新方法，並成功解決了六維0/1-多面體的計數，從而將該問題的研究向前推進了重要的一步。 （3）利用研究代數幾何問題中引入了結構和算法，解決了分別由A. de Mier和J.S. Kim提出的兩個組合猜想。A.S.Buch在其發表在頂級數學期刊Acta Math.上的研究Grassmannian代數簇的組合性質的文章中引入了rook strip這一組合結構。此後，Buch與合作者又引入了Hecke算法用於研究Grassmannian代數簇的性質，Hecke算法與Coxeter群的Hecke代數有密切的關係。基於以上結構和算法，我們定義了徘徊Hecke楊表這一組合結構，並建立了該組合結構與聯接劃分的一一對應關係。作為推論，我們證明了分別由de Mier和Kim提出的聯接劃分與集合劃分的交叉數目和嵌套數目對稱分布的猜想。
