群的非交換幾何性質及其在Davis流形分類中的套用

《群的非交換幾何性質及其在Davis流形分類中的套用》是依託重慶大學，由任慶剛擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：群的非交換幾何性質及其在Davis流形分類中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：任慶剛
• 依託單位：重慶大學

中文摘要

非交換幾何是以泛函分析、運算元代數的工具來研究其他領域的問題。隨著非交換幾何的發展，其理論日益豐富，套用日益廣泛，產生了很多新的觀點和問題。其中Guentner-Tessra-Yu提出的有限分解複雜度性質是一個新的研究熱點。這一性質可以用來證明拓撲學中的穩定Borel猜想。本項目希望研究與這一性質的相關的兩類問題。一類是哪些群具有或者不具有這一性質，重點研究Thompson群和Grigorchuk群是否具有這一性質。這兩個群在幾何群論的研究中有重要意義，與Von Neumann猜想等問題相關。一類是這一性質在拓撲學中的套用。我們知道流形分類問題一直是流形拓撲學研究的中心問題。其中非球面流形是重點研究對象。我們對非球面流形了解的很少。M.Davis用Coxeter群的辦法構造了一大類非球面流形。這些流形的分類問題至今沒有得到解決。用有限分解複雜度這一新的性質可以來研究這類流形的分類問題。

結題摘要

本項目的研究領域是非交換幾何領域的粗幾何領域。非交換幾何是近些年發展比較迅速的數學領域，是泛函分析，運算元代數，群論，圖論與流形拓撲學的交叉學科。 在粗Baum-Connes猜測的研究中，郁國樑教授證明了此猜想對可粗嵌入到希爾伯特空間的有界幾何的度量空間成立。進一步郁國樑教授和Kasparov證明如果度量空間可粗嵌入到一致凸的巴拿赫空間，那么高指標映射是單射。當前的研究基本都集中在粗嵌入到希爾伯特空間，對於粗嵌入到一般的一致凸的巴拿赫空間的成果還很少。我們研究了嵌入到一致凸巴拿赫空間的情況。我們首先給出了一個嵌入到一致凸空間的充分必要條件。由此我們討論了可粗嵌入到一致凸巴納赫在距離空間中的並集的保持性。我們證明在一定的條件下，粗嵌入到一致凸空間的性質在取有限並和無限並下保持。然後我們套用這個條件討論了具體的空間。我們套用這個條件證明了相對雙曲群的相對度量的球是可粗嵌入到一致凸的巴拿赫空間如果其子群粗可嵌入。此部分的研究成果已發表。 在後續研究工作中，我們研究了一致Roe代數的剛性問題。由於Roe代數是高指標映射的目標代數，所以Roe代數的性質就成為高指標理論中的重要問題。 我們首先用Roe代數的理想結構理論重新證明了如果兩個度量空間的代數Roe代數同構，那么空間本身是粗等價的。其次我們把剛性定理推廣到對於不含有非緊的局部不可見的投影運算元的一致Roe代數也成立。如果一個擴充圖空間可以嵌入到希爾伯特空間，那么這些圖的一致Roe代數不含有非緊的局部不可見的投影運算元，所以對這些擴充圖空間，一致Roe代數的剛性定理成立。我們知道擴充圖空間可以不具有性質A，所以我們把Roe代數的剛性定理從具有性質A的空間推廣到這類擴展圖空間。