box-cox變換

Box-Cox變換是Box和Cox在1964年提出的一種廣義冪變換方法，是統計建模中常用的一種數據變換，用於連續的回響變數不滿足常態分配的情況。Box-Cox變換之後，可以一定程度上減小不可觀測的誤差和預測變數的相關性。Box-Cox變換的主要特點是引入一個參數，通過數據本身估計該參數進而確定應採取的數據變換形式，Box-Cox變換可以明顯地改善數據的正態性、對稱性和方差相等性，對許多實際數據都是行之有效的。

基本介紹

• 中文名：box-cox變換
• 外文名：Box-Cox transformation
• 性質：變換
• 所屬學科：數學
• 屬性：一種廣義冪變換方法
• 相關方法：極大似然估計

簡介

Box-Cox變換的一般形式為：

式中為經Box-Cox變換後得到的新變數，為原始連續因變數，為變換參數。以上變換要求原始變數取值為正，若取值為負時，可先對所有原始數據同加一個常數使其為正值，然後再進行以上的變換。對不同的所作的變換不同。在時該變換為對數變換，時為倒數變換，而在時為平方根變換。Box-Cox變換中參數的估計有兩種方法：(1)最大似然估計；(2)Bayes方法。通過求解值，就可以確定具體採用哪種變換形式。

變換過程

Box-Cox變換是對回歸因變數Y的如下變換：

在這裡是一個待定變換參數。對於不同的，所作的變換也不相同，所以Box-Cox變換是一族變換，它包括了平方根變換()，對數變換()和倒數變換()等常用變換，對因變數的n個觀測值，套用上述變換，可得變換後的向量

我們要確定變換參數，使得滿足

即要求通過因變數的變換，使得變換過的向量與回歸自變數具有線性相依關係，誤差也服從常態分配．誤差各分量是等方差且相互獨立，故Box-Cox變換是通過參數的適當選擇。達到對原來數據的“綜合治理”，使其滿足一個正態線性回歸模型的所有假設條件。

用極大似然方法來確定，由於，故對固定的，和的似然函式為

其中，為變換的Jacobi行列式

當固定時，是不依賴於參數和的常數因子，的其餘部分關於和求導數，令其等於零，可求得和的極大似然估計

殘差平方和為

對應的似然最大值為

該式為的一元函式，通過求它的最大值來確定，因為是x的單調函式，問題可轉化為求的最大值，對式(3)求對數，略去與無關的常數項，得

其中，

式(4)對Box-Cox變換在計算機上實現帶來很大的方便，因為我們只要求出殘差平方和的最小值，就可以求出的最大值，雖然很難找出使達到最小值的的解析表達式，但是對一系列的給定值，通過最普通的求最小二乘估計的回歸程式，很容易計算出對應的，畫出關於的曲線，可在圖上近似地找出達到最小值的。

Box-Cox變換變換的具體步驟如下：

(1)對給定的值，計算，如果，用式(6)計算，否則用式(7)；

(2)利用式(5)計算殘差平方和；

(3)對一系列的值，重複上述步驟，得到相應的殘差平方和的一串值，以為橫軸，作出相應的曲線，用直觀的方法，找出使達到最小值的點。

(4)利用式(2)，求出。

意義

Box-Cox變換的一個顯著優點是通過求變換參數來確定變換形式，而這個過程完全基於數據本身而無須任何先驗信息，這無疑比憑經驗或通過嘗試而選用對數、平方根等變換方式要客觀和精確。

Box-Cox變換的目的是為了讓數據滿足線性模型的基本假定，即線性、正態性及方差齊性，然而經Box-Cox變換後數據是否同時滿足了以上假定，仍需要考察驗證。