0-1律

零一律是機率論中的一個定律，它是安德雷·柯爾莫哥洛夫發現的，因此有時也叫柯爾莫哥洛夫零一律。其內容是：有些事件發生的機率不是幾乎一（幾乎肯定發生），就是幾乎零（幾乎肯定不發生）。這樣的事件被稱為“尾事件”。

基本介紹

• 中文名：零一律
• 外文名：Kolmogorov's zero–one law

簡介

尾事件是由無限多的隨機變數的序列來定義的。假設

是無限多的獨立的隨機變數（無需同等地分布）。即“尾事件”是一種事件，其發生或不發生由這些隨機變數決定，但不由任何這些隨機變數的有限系列所決定。比如，假如以下系列

收斂，則該事件是一個尾事件。序列和雖收斂但大於1的事件並不是尾事件，因為，比如它不是與X₁的值無關。比如假如我們扔無限多次銀幣，則連續100次數字面向上的事件出現無限多次的事件是一個尾事件。

無限猴子定理是零一律的一個例子。

公式

柯爾莫哥洛夫零一律更一般的論述是對獨立的σ代數流而言的。令(Ω,F,P)是一個機率空間和F_n是包含於F一列相互獨立的σ代數。令

是包含F_n,F_n+1,…的最小的σ代數。那么柯爾莫哥洛夫零一律推出對任意的事件

一定有P(F)=0或1。

無限猴子定理

起源

無限猴子定理是來自埃米爾·博雷爾一本1909年出版談機率的書籍，當中介紹了“打字的猴子”的概念。這個定理是機率論中的柯爾莫哥洛夫的零一律的其中一個命題的例子。不過，當波萊爾在書中提出零一律的這個特例時，柯爾莫哥洛夫的一般敘述並未給出（柯爾莫哥洛夫那本機率論的著作直到1933年才出版）。

定義

關於此定理的敘述為：有無限只猴子用無限的時間會產生特定的文章。其實不必要出現了兩件無限的事物，一隻猴子打字無限次已經足夠打出任何文章，而無限只猴子則能即時產生所有可能的文章。其他取代的敘述，可能是用大英博物館或美國國會圖書館取代法國國家圖書館；另一個常見的版本是英語使用者常用的，就是猴子會打出莎士比亞的著作。

無限猴子定理的證明

兩個獨立事件同時發生的機率等於其中每個事件單獨發生的機率的乘積。比如，在某一天悉尼下雨的可能性為0.3，舊金山地震的可能性是0.008（這兩個事件可以視為相互獨立的），那么它們同時發生的機率是0.3×0.008=0.0024。

假設一個打字機有50個鍵，想要打出的字是“banana”。隨機的打字時，打出第一個字母“b”的機率是1/50，打出第二個字母“a”的機率也是1/50，因為事件是獨立的，所以一開始就打出單詞“banana”的機率是：(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50)×(1/50) =(1/50)⁶，這個機率小於150億分之1。同理，接下來繼續打出“banana”的機率也是1/50。

所以，在給定的六個字母沒有打出“banana”的機率是1−(1/50)。因為每一段（6個字母）文字都是獨立的，連續n段都沒有打出“banana”的機率X_n是：

隨著n變大，X_n在變小。當n等於100萬時，X_n大約是0.9999（沒有打出“banana”的機率是99.99%）；但是當n等於100億時X_n大約是0.53（沒有打出“banana”的機率是53%）；當n等於1000億時X_n大約是0.0017（沒有打出“banana”機率是0.17%）;當n趨於無窮時X_n趨於零。這就是說，只要使n足夠大，X_n可以變得足夠小。

同樣的論證也可以說明在無限多的猴子中有至少一個會打出一段特定的文章。這裡X_n=(1−(1/50))，其中X_n表示在前n個猴子中沒有一個一次打出banana的機率。當我們有1000億隻猴子時，這個機率降低到0.17%，並且隨著猴子數量n趨於無窮大，沒有打出“banana”的機率X_n趨於0。

但是，在只有有限的時間和有限只猴子時，結論就大不一樣了。如果我們的猴子數量和可觀測宇宙中的基本粒子數量一樣多，大約10隻，每秒鐘打1000個字，持續打100倍於宇宙的生命長度的時間（大約10秒）有猴子能夠打出一本很薄的書的機率也趨近於0。