龐加萊球

橢圓偏振光是單色光波最一般的偏振態。研究橢圓偏振光的教學方法共有四種：即三角函式法、瓊斯(R ·C - Jones)矢量矩陣法、斯托克斯 - G ·Stokes)參量法和龐加萊(H - Poincare)球法。龐加菜球是研究任一偏振態的方法。

基本介紹

• 中文名：龐加萊球
• 外文名：Poincare sphere
• 物理學稱呼：Poincare&1& sphere
• 套用學科：物理學、數學、天文學
• 簡介：研究橢圓偏振光的教學方法之一
• 提出者：龐加萊

簡介

研究歷史

橢圓偏振光的特徵由方位(長軸方位) 形狀(短長軸之比彌偏心率)和旋向確定，稱偏振態。研究橢圓偏振光的教學方法共有四種：即三角函式法、瓊斯(R ·C - Jones)矢量矩陣法、斯托克斯 - G ·Stokes)參量法和龐加萊(H - Poincare)球法。

龐加菜球是研究任一偏振態的圖示方法。對於龐加萊球的導出，從查閱的國內外文獻資料來看，都是根據龐加萊於1892年提出的理論，即從斯托克斯參量入手引進球體的。

斯托克斯參量和龐加萊球

特徵

球的兩極表征的是左、右旋圓偏振光：赤道上各點表{iE的是振動方向不同的線偏振光：上半球表征的是左旋橢圓偏振光：下半球表征的是右旋橢圓偏振光等等。

龐加萊球模型

設沿OZ 方向傳播的橢圓偏振光的兩個線性偏振分量為 ， 兩個線性偏振分量的相位差δ=δ_y-δ_{x ，}令tgα=e_y/e_{x ，}則橢圓的方位角Ψ滿足

橢圓率角Χ滿足

其中方位角Ψ是橢圓主軸與X 軸正方向之間的夾角，它決定了橢圓在該平面內的取向(-π/2 <Ψ<π/2)。橢圓率角X定義為tgX = ±b /a，其中a 為橢圓半長軸，b為橢圓半短軸 X 的正負分別對應於右旋偏振和左旋偏振。 對於TE平面波的各種可能偏振態，可以用斯托克斯參數進行表示。斯托克斯參數的定義為

顯然S₀²=S₁²+ S₂²+ S₃²所以式中只有3 個變數是獨立的 且有

tg(2Ψ)=S₂/S₁

sin(2X)=S₃/S₀

理想情況下(即在無損傳輸時)有S₀ = 常數 所以S_1，S_2， S₃所表示的是一個球面。S₀ =1 的球就是龐加萊球。 球殼上各點與光的全偏振態一一對應。

龐加萊球表象

龐加萊球的角量(Ψ、x) 具有特定的意義，是描述單色光波偏振態的兩個重要參量。

龐加萊球的赤道

龐加萊球的赤道是直線偏振光的集合，振動平面隨著經度的增大而旋轉。

赤道上S₃ = 0 ， 有φ= nπ(n 為零或整數) ，或a_x =0 或a_y = 0；設OX與OS₁軸平行，OS₁軸與球面的交點M 處，S₀=S₁ ，而S₂ = S₃ = 0 ，於是有a_y = 0 ，即點M 表征著振動方向平行OX軸的直線偏振狀態;在OS2 軸與球面的交點N 處，S3 = 0、S₁ = 0、S₀ = S₂ ，於是有a_x = a_y ，Ψ = 45°，即點N 表征與OX軸成45°角的直線偏振狀態;同理M的對稱點M′表征著與OX軸成90°角即平行OY方向的直線偏振態1。對經度為2Ψ 的赤道上一點Q 有

S₀=a_x²+a_y²

S₁ = a_x² _--a_y²= S₀cos2Ψ = S₀cos²Ψ -S₀sin²Ψ

S₂ = 2 a_xa_y = S₀sin2Ψ = 2 S₀cosΨsinΨ

得a_x = S₀cosΨ ，a_y = S₀sinΨ。由此可知，該點Q 表征著與OX軸成Ψ 角的直線偏振。

龐加萊球的南、北極點

龐加萊球的南、北極點所表征的偏振態如下。

對於該兩極點，S₁= S₂ = 0、S₀ = S3 ，從而有ax = ay ，φ= nπ+π/ 2，北極點S₃ > 0 ，φ= 2nπ+π/ 2 ，即X方向的振動超前於Y方向π/ 2 ，於是該北極點表征右旋圓偏振光。同理可知，南極點表征左旋圓偏振光。

龐加萊球上的其它任一點

龐加萊球上的其它任一點P ( S1 、S2 、S3) 表征著橢圓偏振態。

角Ψ 表示橢圓的取向，它是橢圓長軸與OX的夾角(0 ≤Ψ ≤ π) 同一經線上各點表征著長軸具有相同取向的不同橢圓偏振態。角X用來表示橢圓的形狀，也就是長短半軸(a ，b) 之比，tgx = ±b/ a ，可見龐加萊球的緯線代表等橢圓率線1 當0 < x ≤π/4 時，S3 > 0 即φ> 0 ，為右旋橢圓偏振光;當-π/4 ≤x < 0 時S3< 0 即φ< 0 ，為左旋橢圓偏振光。