齊性空間上的調和分析

《齊性空間上的調和分析》是依託山東大學，由黃勁松擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：齊性空間上的調和分析
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：黃勁松
• 依託單位：山東大學

中文摘要

齊性空間上的調和分析和李群表示論是在經典調和分析的基礎上發展起來的，.它與數學領域中許多重要學科以及理論物理都有著密切的聯繫，例如通過自守形式與Langlands綱領它對當今數論的發展產生了深遠的影響。 本項目擬用李群表示論中的Dirac運算元和Dirac上同調的方法研究齊性空間一類調和分析問題。具體包括：.1.確定最高權酉表示的Dirac上同調進而得出branching law；.2.Hermite 對稱空間上的多複變函數和球面函式；.3.不變數理論和軌道空間的幾何問題以及幾何量子化問題。

結題摘要

Harish-Chandra對半單李群離散序列表示的分類以及他的Plancherel公式的證明是20世紀數學最偉大的成就之一。20 世紀70 年代Parthasarathy、Atiyah、Schmid等人使用Dirac 運算元來構造離散序列表示，他們發現離散序列可以由作用在對稱空間的旋量叢上的Dirac 運算元的核來構造； 90 年代，對於約化李代數及其相對應的Clifford 代數上的Dirac 運算元，Vogan 猜想Harish-Chandra模的無窮小特徵標的標準參數與Hariah-Chandra 模的Dirac 上同調的無窮小特徵標的標準參數在Weyl群下共軛。進入21世紀，該猜想由Pavle Pandzic與我一起證明，這以後Dirac上同調在表示論近些年的發展中一直發揮著積極的作用。 本項目繼續研究Dirac上同調，考慮了它在經典分歧律、上同調誘導、Langlands綱領內窺理論和幾何量子化中的套用：藉助K-特徵標與不變數理論，我們推廣了Littlewood-Richardson公式；通過我們建立的上同調誘導模與Dirac上同調的關係，把有非零Dirac上同調的溫和(tempered)不可約酉表示進行了分類；通過把傳遞因子寫成關於Dirac指標的公式，我們驗證了Langlands綱領內窺理論的一個重要結論；通過對半單李群及其緊的Cartan子代數確定的辛流形進行幾何量子化，建立了Dirac上同調與幾何量子化的關係，我們證明了得到的表示是酉表示，對這個酉表示進行了正交分解，並且確定了它上面的離散序列結構。通過研究Klein 4-子群，為對稱空間的分類提供了一個新的視角。我們研究了有理Cherednik代數（rational Cherednik algebra）的李代數上同調，擴充了半Dirac運算元（half-Dirac operator）的Vogan猜想，證明了對應的Casselman-Osborne定理。 通過上述工作，我們把Dirac上同調套用到了Langlands綱領、幾何量子化等當前的焦點問題上，為這些問題的解決提供了一種思路。