《橢圓邊值問題的齊性化理論及調和分析方法之研究》是依託中山大學，由宋亮擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：橢圓邊值問題的齊性化理論及調和分析方法之研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：宋亮
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
微分方程齊性化理論是研究微分方程中高頻率振盪的係數對解的影響，是方程研究的重要課題。由於近年來Kenig、林芳華、申仲偉等學者在非光滑區域上橢圓齊性化問題上的突破，使得這方面的研究越來越多地受到了分析學家們的重視。本項目申請者擬運用調和分析的方法和技巧來從事橢圓邊值問題齊性化理論方面的研究。包括：(i)非光滑區域上 Legendre-Hadamard條件下橢圓運算元的Dirichlet邊值問題的齊性化理論；(ii)非光滑區域上非一致振盪係數的二階橢圓運算元的齊性化理論；（iii）Lipschitz區域上彈性系統的Neumann邊值問題的齊性化理論。
結題摘要
齊性化理論中的邊值問題是偏微分方程的重要研究課題之一。調和分析方法是非光滑區域邊值問題研究的非常重要的工具。本項目擬通過發展調和分析的理論方法，運用調和分析的技巧來從事非光滑區域上橢圓邊值問題齊性化理論方面的研究。 我們得到的結果如下。 考慮一個具有快速震盪周期係數的線性彈性系統，我們證明了Lipschitz區域上該彈性系統解的一個邊界korn不等式，從而得到了彈性系統Dirichlet邊值問題與Neumann邊值問題的一致的L2估計。證明中我們運用了Dahlberg的雙線性估計、Carleson測度，奇異積分運算元的有界性等調和分析工具。 這是弱橢圓條件下齊性化理論的一個深入的進展。 我們還研究得到了與微分運算元相聯繫的Hardy空間的極大函式刻畫，與微分運算元相聯繫的Campanato空間的重要性質，並將其套用於邊值問題的研究。 我們還在Coifman-Weiss齊型空間上運用Auscher、Hytonen構造的齊型空間上的正交小波基，證明了奇異積分運算元在Hardy空間、BMO空間等函式空間上的有界性。我們的部分成果已經發表在Adv.Math., Arch. Rational Mech. Anal.， J.Funct. Anal.等重要數學期刊上。
