默滕斯公式

默滕斯公式是研究素數分布理論的基本工具，是1884年默滕斯（Mertens,F.C.J）給出的。

基本介紹

• 中文名：默滕斯公式
• 外文名：Mertens formula
• 適用範圍：數理科學

簡介

默滕斯公式是研究素數分布理論的基本工具。

默滕斯公式是1884年默滕斯（Mertens,F.C.J）給出的。

公式

設p為素數，x≥e，k，l為正整數，且(k,l)=1，k≤lnx（A為任一正整數）。公式

稱為默滕斯公式，其中c為正絕對常數，γ是歐拉常數，且O中至常數與x無關。

證明

一般情況

公式的證明依賴於著名的貝特朗定理以及狄利克雷級數的零點估計，公式證明的關鍵在於證明

其中c₁<0，c₂>0為固定常數。

特殊情況

特別地，有默滕斯公式，其證明依賴於公式

其中γ為歐拉常數。